CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

Les nombres A,, A2, ..., A„, ... sont, par définition, les dérivées première, seconde, ..., nième, ... de la fonction / '(as) an point as.

Supposons que la fonction /(as) soit régulière en chaque point as d'un continuum G; alors, à chaque point correspondra une suite de nombies Ai, A2, ..., A„, ..., qui pourront donc être regardés comme les valeurs au point as d'une suite de fonctions /'(as), /"(as), •••, /"(as), ... définies dans le continuum, fonctions auxquelles on donne aussi le nom de (fonctions) dérivées successives de la fonction/(as). Ainsi, à chaque point as du continuum correspond un nombre s tel que l'on ait, sous la condition | h | <C s,

on dira alors que la fonction est régulière dans tout le continuum (G).

Supposons, par exemple, en désignant par as0 un nombre fixe, que /(as) soit la somme de la série entière en x — as0,

a0 -h at(ar — x0) -h a2(x — as0)2 4- ... + an(x — x0)n -+- ... ,

dont je suppose le rayon de convergence égal à R0 ; cette fonction, d'après ce qu'on a vu au numéro précédent, sera régulière dans le continuum défini par l'inégalité \x — as0| <R0; ses dérivées successives seront

f'(x) = a. H- 2a,{x — x0) -(- ... H- nan(x — x0)n~l -+- ..,,

f"{x) = i.2«2 -t- 2.3a3(a; — x0) + ... -h (n — i) nan{x — ^0)"-2 ■+-•••«

A la vérité, c'est dans le cas où as0 est nul que ces propositions ont été établies, mais le passage d'un cas à l'autre se fait évidemment en prenant x — as0 pour variable. Rappelons encore, en passant, que la série, entière en X — as,

est convergente et a pour somme /(X) si l'on a |X — x\ < R() — \x — .'c„|.

La loi par laquelle la série /'(as) se déduit delà série /(as) est

Tanner y II. — Introduction à la Théorie des fonctions 21

manifeste : c'est la même loi qui donne la dérivée d'un polynôme. C'est aussi par la même loi que /"(as) se déduit de /'(as), que /'"(as) se déduit de /"(as), etc. Ainsi la dérivée seconde est la dérivée de la dérivée première, la dérivée troisième est la dérivée de la dérivée seconde, etc.

Cette dernière proposition s'étend évidemment à une fonction régulière quelconque F (as), puisqu'une fonction régulière au point xQ peut être représentée, aux environs de ce point, par une série entière en a? — as0.

353. — Cette façon d'introduire la notion de dérivée, qui ne s'applique d'ailleurs qu'aux fonctions qu'on a définies comme étant régulières, est tout à fait différente de la façon que l'on a adoptée au Chapitre VI dans le cas des variables réelles. Je veux, dès à présent, dire un mot sur l'extension au cas des variables imaginaires de cette dernière définition de la dérivée.

Soit en général /(as) une fonction de la variable imaginaire x, définie dans un continuum (C). Soit x un point de ce continuum et h une variable, suffisamment petite en valeur absolue pour que x H- h appartienne aussi à (G) ; en d'autres termes, \h\ doit rester inférieure à la distance de x à la frontière de (C). Considérons la fonction de h

définie pour les valeurs de h, autres que o, qui satisfont à la condition précédente. Si cette fonction de h admet une limite pour h = o, on dit que la fonction f(x) admet une dérivée au point x, dérivée qui n'est autre que la limite dont on suppose l'existence.

Si la fonction y (as admet une dérivée en chaque point du continuum, la fonction dérivée /'(as) est définie en chaque point de ce continuum ; pour qu'il en soit ainsi il est évidemment nécessaire que la fonction f(x) soit continue en chaque point de ce continuum ; mais cette condition est loin d'être suffisante.

Cette nouvelle définition de la dérivée est la généralisation immédiate de la définition de la dérivée dans un intervalle donné au Chapitre VI ; toutefois clans ce chapitre, on a considéré la dérivée pour les bornes de l'intervalle; pour poursuivre l'analogie, il conviendrait de parler de la dérivée pour les points frontières du