CHAPITRE VIF. INTEGRALES DEFINIES 3y

Si la fonction f(x) est continue dans l'intervalle (a0, a), il y aura une valeur £ appartenant à cet intervalle pour laquelle on aura

et l'on pourra écrire

[" o(œ)f(x)dx=f(t) f\(x)dx.

S'il y a un intervalle contenu dans l'intervalle (a0, a) dans lequel la fonction a> (x) ait une borne inférieure autre que zéro et dans lequel la fonction continue f(x) ne soit pas constante, on peut affirmer que le nombre | est différent de a0 et de a. Dans ce cas, en effet, il y aura un intervalle contenu dans l'intervalle considéré et dans lequel les fonctions M — f(x), f(x) — m ne s'annuleront pas et resteront supérieures à un certain nombre positif; il en sera de même du produit de ces fonctions par <d (x) ; en sorte que le signe = devra être exclu des inégalités (i) ou 2) ; au reste, si l'on désigne par x' , x" les valeurs appartenant à l'intervalle (a0, aj pour lesquelles on a

f(x>) = M, f(x") = m, les inégalités (3) équivalent à dire que la fonction continue de x

© (x) dx — I 9 (x)f(x) dx

(où les intégrales doivent être regardées comme des constantes), est positive pour x = x', négative pour x = x" ; cette fonction s'annule donc pour un nombre S compris entre x' et x", distinct de ces nombres et par conséquent de a0 et de a.

En se reportant, par exemple, à l'expression considérée à la fin du dernier paragraphe,

( (i—t)nfln+V(x-hht)dt,

on voit que cette expression, si la fonction de /, f('l+l) {x -\- ht), est continue dans l'intervalle (o, 1), peut s'écrire

fn+i (œ | M) | (1 — t)n dt = — : — /(»+*> (x -h 8/i),

Q étant un nombre compris entre zéro et un ; en multipliant cette

hn quantité par , on retrouve l'expression du reste de la série

de Taylor, donnée par Lagrange.

Considérons encore l'expression

m fx dx

J0 y/(i ^)(l —tfx*)

où la constante k2 est supposée plus petite que un et où la limite supérieure x de l'intégrale est un nombre positif plus petit que un ; on aura, en désignant par '£ un nombre compris entre zéro

J \/i — k2%'2 — arc sin x, et par conséquent

sin (3 v/i — /î2J <C x <C sin J-

254. — Au théorème qui fait l'objet du numéro précédent se rattache une autre proposition, un peu plus cachée, à laquelle on donne habituellement le nom de second théorème de la moyenne (4) ; elle est due à 0. Bonnet et repose sur le lemme d'Abel établi au n° 138.

Je ferai d'abord la remarque suivante : Soit f{x) une fonction bornée et intégrable de la variable x dans l'intervalle (a0, a) ', soit (oo, ai, ..., an ï, a) une décomposition de l'intervalle (a0, a) en intervalles partiels: désignons par/o, fi, ■■-, fn-i, fn les valeurs de la fonction f(x) pour les valeurs a0, ai, ..., an l, a attribuées à la variable x ; la somme

sera une valeur approchée de l'intégrale

fUf(x)dx,

(J) Mémoire sur la théorie générale des séries, dans les Mémoires couronnés et Mémoires des savants étrangers, publiés par l'Académie royale de Belgique (t. XXIII, p. 8).