CHAPITRE XI

continuum. C'est un point sur lequel je reviendrai aux nos 378 et 379.

Je laisse de côté, pour le moment, les conséquences de cette seconde définition de la dérivée ; je me borne à remarquer que si la fonction f (x) est régulière, au point x, si l'on peut poser, pourvu que h soit suffisamment petit en valeur absolue,

f'(x) sera bien la dérivée de la fonction f(pc), au point x, avec le sens de limite qu'on vient de donner au mot dérivée; l'égalité précédente montre en effet que l'on a

le second membre est une fonction continue de h qui, pour h = o, se réduit à f(x) .

J'abandonne maintenant le point de vue où je me suis placé dans ce numéro, pour m 'attacher à la définition de la dérivée tirée de la notion de fonction régulière.

354. — Les règles élémentaires pour le calcul des dérivées se déduisent très aisément de cette définition ; ainsi le lecteur reconnaîtra sans aucune peine que, si les fonctions f(x), ■?{%) sont régulières au point x, il en est de même de leur somme, de leur produit, de leur quotient (en supposant que le diviseur ne soit pas nul au point ce)', et retrouvera immédiatement les règles usuelles pour prendre la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient. Voici quelques cas un peu plus compliqués.

Reprenons les notations des propositions T, II du n° 349. Les séries un(x) (/i = o, i, 2, ...), entières en ce, sont absolument convergentes pour x = a (a >• o) ; U«(a?) est la majorante naturelle de un(x). Les fonctions un(x), Un(œ) ont des dérivées

u'n(x), un{x), ...,

les fonctions qui figurent sur la seconde ligne sont manifestement les majorantes naturelles des fonctions qui figurent sur la première

ligne : on suppose, en posant A„ = U,/a), que la série A0 -+- Ax -+- . . . est convergente.

Il est bien aisé de voir que la fonction

(i) f(x) = a0(x) -+- Ui(x) ... H- un(x) -h ...

est régulière en tout point x du continuum défini par la condition \x\ <C a.

Dans la démonstration, je regarderai x comme fixe ; h sera la variable ; pour la commodité de l'écriture je poserai

H est un nombre positif fixe, la variable h est assujettie à la condition h' <H. On a

(2) j(x -+- h) = uQ(x -h h) + ut(x ■+■ h) H- ... -+- u„(x -h' h) -h ...

Si, dans la série obtenue en développant iin(x -+- h) suivant les puissances de h, on remplace les coefficients par leurs valeurs absolues et h par h', la somme de la série (à termes positifs) à laquelle on parvient ainsi, sera au plus égale à

U»(x' + h') < Un(x' h- II) ou A„.

Dès lors, on voit que la proposition I du n° 349 s'applique à la série qui forme le second membre de l'égalité (2), série dont les termes peuvent être regardés comme des séries entières en h, sous la condition \h\ < H ; on pourra donc ordonner suivant les puissances de h et l'on aura

(3) f{x + h) =f(x) + \f(x) + £-f(œ) + ... + -£/*(»)+..., en posant

(3) ir(x)=-u"0(x) + u\(x) + ... + «£(*)

Les seconds membres de ces dernières égalités, où u'n(x)\ u"„ x , ... n= o, 1, 2, ...) désignent les dérivées première, seconde, ... de la fonction u„(# , sont des séries absolument convergentes sous la condition \x\ < a. Les sommes de ces séries sont