CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

les dérivées première, seconde, ... de la fonction f'x) définie par l'égalité i).

On obtient donc la dérivée de cette fonction, en prenant les dérivées, terme à terme, du second membre, comme s'il s'agissait d'une somme finie. La règle relative à la formation de la dérivée d'une série entière en x peut être regardée comme un cas particulier de celle qu'on vient d'établir.

Si, en conservant Sa même signification aux fonctions un(x), en leur imposant les mêmes conditions, et en regardant toujours x comme un point satisfaisant à la condition \x\ <; a, on considère la fonction © [x) définie par l'égalité

o{x) = [i + a0(x)] [1 H- u^x)] ... [i -+- un(x)] ... on reconnaîtra que la fonction de h

cp (x -+- h) = [ i H- «0 (x -f- h)) [i -f- Ui (x -+- h)} ... [i -+- un(x -+- h)] ...

peut être ordonnée suivant les puissances de h, que cp(x) est régulière au point x et que si, en ce point, aucun des facteurs du produit infini n'est nul, la dérivée o' (x) de ©(œ) peut se mettre sous la forme

si le facteur i H- uH(x) était nul, la dérivée de o (oc'' s'obtiendrait en remplaçant dans le produit infini © (as) le facteur i -f- zj„ (x) par sa dérivée u^ (a?) .

Les propositions III et IV du n° 349 fournissent de même des propositions que je me contenterai d'énoncer, le mode de démonstration étant suffisamment éclairci par ce qui précède : le lecteur ne manquera pas de rapprocher ces propositions de celles qui ont été établies, pour les variables réelles, aux nos 212 et 220.

Conservons aux séries

g{y) = bo -+- hy -+■ ••• h- &»r -+- •••

f (x) = a0 -h «iX -t- ... -+- aHxn -4- ...

la signification du n° 349 (III), ainsi que les conditions imposées à ces séries; la fonction de x obtenue en regardant, dans g [y), y comme égal à f(x) est régulière pour tous les points x qui satis-

3a6 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

font à la condition J x | < a et la dérivée de cette fonction par rapport à x est égal au produit g' (y) / (x). Conservons à la série p"Ple

04, a2,..., ap

la signification du n° 349, IV et imposons-lui les mêmes conditions; désignons-en la somme par/(iCi, x-i,..., xP) ; la fonction dep variables f\Xi, x-2,..., x,,) est définie pour les valeurs de ces variables qui satisfont aux conditions

j Xi j < a± , x-2 < a-2 . . . , xp < ap ;

elle admet des dérivées partielles pour tout système de valeurs de Xi, xi,..., xp qui satisfont aux conditions,

| 2*1 | <C «1 ) 2*2 < a2»--« ) Bp <C «;> '

adoptons pour ces dérivées partielles le même symbolisme que pour les fonctions de variables réelles (*). Regardons maintenant xT (r = i, 2,... /)) comme la somme d'une série entière en as, soumise aux conditions qui ont été énumérées au n° 349, IV ; alors, f(xi, Xi,..., xp) devient une fonction composée de x, régulière sous la condition x << a ; sa dérivée est

en désignant par x[, x'.2,..., x'v les dérivées de Xi, x-2,,..., xp par rapport à x.

355. — Soit (C) un continuum borné et (?(x) une fonction régulière en chaque point de ce continuum.

Par hypothèse, à chaque point x0 du continuum correspond un nombre positif; dont on peut affirmer la propriété suivante : sous la condition \x — x0 1 <C s, le point x appartient à (C), et la série

(i) o fa) + X^ j (x0) + ^f0)- o"(.r„) + ...

(') Notons que la proposition f"x x =fxx résulterait ici de la règle pour prendre la dérivée d'une série entière et de ce que celte proposition est vraie quand la fonction /se réduit à un monôme.