CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

converge absolument, sa somme est égale à ©(se). Il y a évidemment une infinité de nombres positifs s qui jouissent de cette propriété, car si £ la possède, il en est de même des nombres positifs plus petits ; mais l'ensemble des nombres positifs c qui jouissent de cette propriété est borné en haut, puisque le nombre s ne peut dépasser ni la distance du point x0 à la frontière du continuum, ni le rayon de convergence de la série. Soit o(xo) la borne supérieure de l'ensemble des nombres i ; dire qu'à chaque point x0 de (C) correspond un nombre o(xQ), c'est dire que la fonction p (a?) est déterminée dans le continuum (C) : o{x) est un nombre positif qui n'est jamais nul, qui devient d'ailleurs aussi petit que l'on veut, quand x s'approche suffisamment de la frontière de (C).

Soit maintenant (D) un ensemble clos, contenu dans (C) ; Je vais démontrer que la borne inférieure de l'ensemble des valeurs que prend la fonction p (x) pour les points x qui appartiennent à l'ensemble clos (D) n'est pas nulle.

Supposons en effet, pour arriver à une contradiction, que cette borne inférieure soit nulle. Alors, à chaque nombre positif a., si petit qu'il soit, doivent correspondre un ou plusieurs points x, appartenant à D), tels que l'on ait o(x) •< a; soit E(a) l'ensemble de ces points. Si l'on a a' <C a, l'ensemble E(a') est évidemment contenu dans E (a). Il y a donc un ensemble E o) (nos 283, 156 de points k dont chacun jouit de la propriété suivante : ou le point k appartient à tous les ensembles E a), ou il est un point d'accumulation pour chacun de ces ensembles. Dans le premier cas, le point k appartient à (D) puisque tous les points de E (a) appartiennent à (D) ; il en est de même dans le second cas, car tout point d'accumulation de E a est un point d'accumulation de (D) et, par conséquent, appartient à cet ensemble (D), qui est clos. L'ensemble E (o) est donc contenu dans (D .

Prenons pour x0 un point de cet ensemble E o). Quelque petit que soit le nombre positif a, il devrait y avoir, aussi près qu'on voudra du point x0, des points Xi appartenant à ; D) tels que l'on eût p(xi) <i&.. Mais cela est impossible : si l'on a en effet \xi — xQ ] <; p(xo), le point Xi appartient à (C) et le rayon de convergence de la série

(2) T(aîl)+?'(a.1)?L^i + (p'(a^'< *Tl)2

est au moins égal à o (a?0) — — j a?i — x0 \ ; tout point x intérieur au cercle de centre Xi et de rayon p{xo) — { Xi — x0\, cercle qui est tangent intérieurement au cercle de centre x0 et de rayon p(x0) appartient évidemment à (C) ; d'ailleurs en un tel point x la somme de la série (2) est égale à © (x) ; on a donc

P (^i) ^ P (^0) — j xi — xo J ; il suffit de supposer

pour que l'on ait p [xC) >> - p (xq) ; il y a une borne au-dessous de laquelle p{xi) ne peut pas descendre.

356. ■ — Convenons de dire de deux fonctions œ(œ), '^(x) régulières au point Xo, qu'elles coïncident complètement en ce point quand on a

'f(^o) = M^o), ?(u)(^o) = Vn)fa), {n = 1, 2,...).

Le lemme du précédent numéro a été établi afin de démontrer l'importante proposition que voici :

Si les deux fonctions (?(x), <\>(x), régulières en tout point du continuum (G) coïncident complètement en un point de (C), elles coïncident complètement en tout point de ce continuum.

Soit, en effet, X un point du continuum autre que x0. On prendra pour l'ensemble parfait (D) un lien intérieur à (G) et joignant le point Xo au point Xi ; supposons que ce lien soit défini par les formules

oh f{t), g(i) désignent des fonctions réelles de la variable réelle /. Conservons à la fonction o(x) la même signification que dans le précédent numéro ; cette fonction dépend de la fonction œ (x) ; à la fonction di (a?) correspond une fonction analogue ûi [x) ; les bornes inférieures des deux fonctions p(x), pi (os) pour les points x qui appartiennent au lien (D) ne sont pas nulles ; soit s un nombre positif plus petit que ces deux bornes ; intercalons entre a0 et a des nombres croissants U, (>,... t„, assez voisins pour que, si l'on