CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES 32Q

désigne par Xi, x%,..., xn les points du lien qui correspondent aux nombres intercalaires, la distance entre deux points consécutifs de la suite

soit toujours moindre que s; décrivons des points x0, Xi,... x„ comme centres, avec le même rayon s, des cercles (C0), (Ci ),..., (C„) ; chacun des cercles contiendra, à son intérieur, le centre du suivant ; le point X est intérieur au dernier.

Partons du point x0; en vertu de la supposition, les deux séries, entières en ce — x0,

sont identiques terme à terme : à l'intérieur du cercle (Co), un même développement convient aux deux fonctions, qui coïncident donc complètement en tout point intérieur à (C0), au point Xi, en particulier. A l'intérieur du cercle (Ci), un même développement

*(*.) + XjI^Cl ?'(*.) + {X~l *'(*i) + -

convient aux deux fonctions, qui coïncident donc complètement en tout point intérieur à (Cj) : elles coïncideront de même à l'intérieur de (C2), ..., de (G„) et, finalement, au point X. La proposition énoncée est démontrée.

On peut l'appliquer en particulier à la fonction (p(x) et à la somme 4> (a?) de la série

qui coïncident complètement au point sc0.

S'il arrivait que le continuum (C), où l'on sait que la fonction (p (x) est régulière, fût intérieur au cercle de convergence de la série qu'on vient d'écrire, si, en particulier, la série était partout convergente, les deux fonctions o(x), $>(x) coïncideraient complètement en tout point de (G). Si le continuum (C) des points intérieurs au

33o INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

cercle de convergence de la série est contenu dans (G), on appliquera le même théorème au continuum (C) ; à l'intérieur du cercle de convergence la somme de la série représente toujours la fonction ©(ce). On démontrera d'ailleurs ultérieurement, par des considérations d'une toute autre nature, que le rayon de convergence de la série ne peut pas être inférieur à la distance du point x0 à la frontière de (C).

357. — Considérons maintenant deux fonctions ©(ce), i|>(cc) respectivement régulières dans les continuums ($), (*¥) supposons que ces deux fonctions coïncident complètement en un point £ commun aux deux continuums (0), (*F).

Le point c étant commun aux deux continuums, les points voisins du point £ seront aussi communs à ces deux continuums : l'ensemble des points reliés au point £ par un lien appartenant à la fois à ($) et à (W) constitue un continuum (C) auquel s'applique le théorème du numéro précédent : en tout point de ce continuum les deux fonctions ©(ce), d»(ce), coïncident complètement ainsi que leurs dérivées.

Les deux continuums (<ï>), (M7) peuvent avoir des continuums communs autres que le continuum (C) ; naturellement, on ne peut affirmer que les deux fonctions ©(ce), ^(x) coïncident dans ces autres continuums, à moins qu'on ne sache d'ailleurs qu'elles y coïncident complètement en quelque point.

Dans le cas où les continuums (0), (¥) n'ont pas de points communs en dehors de(C), l'ensemble des points qui appartiennent soit à (<ï>), soit à (W) constitue manifestement un continuum (C et l'on peut, sans contradiction, définir une fonction y (ce), régulière dans tout le continuum (C), comme étant égale à ©(ceï pour tout point de (0), à û)(x) pour tout point de (W). On remarquera en passant que si 2 est un point de la frontière de (W) qui soit intérieur à (4>), on aura certainement

lim. ty(x) = <p(ÉJ);

en supposant que x s'approche de £ sans sortir du continuum Qi), supposition nécessaire pour que le premier membre de l'égalité ait un sens.