CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES
La proposition précédente s'applique en particulier dans le cas où ®(x) et di(x) sont des séries entières, l'une en x — x0, l'autre en x — xt, h savoir
o (ce) — a0 -+- at (as — xQ) -+- a.2(x — x0)2 -+- ..., <l[x) = b0 H- 6j (x — x^ -+- b2(x — Xi)2 -h ....
lorsqu'il y a un point £ intérieur à la fois aux cercles de convergence des deux séries, pour lequel les fonctions o[x) et <l>'x) coïncident complètement.
Soient alors (C0), (C,) les cercles de convergence des séries <p(x), 'i> [x), cercles dont les centres sont en x0, x^ et dont je désignerai les rayons par R0, R ; on peut prendre pour (<E>), (W) les continuums intérieurs aux deux cercles ; l'hypothèse est alors qu'il y a un point ç intérieur à la fois aux deux cercles, pour lequel les deux fonctions <p(x), d»(œ) coïncident complètement.
Les notations précédentes supposent que les deux rayons de convergence sont finis ; si l'un des rayons de convergence est infini, si, en d'autres termes, l'une des séries, o{x) par exemple, est convergente dans tout le plan, ou pourra prendre pour ($) le continuum intérieur à un cercle de centre xQ et de rayon arbitrairement grand : il résulte alors de ce qui a été dit un peu plus haut que, en supposant toujours l'existence d'un point | où les deux fonctions coïncident complètement, la série <| (x) est convergente dans tout le plan, comme la série ©(se); les deux fonctions coïncident dans tout le plan.
Si le centre x: du cercle (Ci) est intérieur au cercle (C0), les deux fonctions ©(as), <|>(œ), qui coïncident complètement en tout point intérieur aux deux cercles, coïncident complètement, en particulier, au point Xi ; on a donc
h = ? fa)»—, 6n = ~\^l • (n = i, a, ...) ; et, d'après ce qui a été établi au n° 350
Rt > R0 — | xt — x0 \.
Supposons, en restant dans ce même cas, Rj > R0 — \x{ — x0 j; on savait par le n° 350 que les deux fonctions <l>(x), (Dix) coin-
cident complètement à l'intérieur du cercle décrit de x{ comme centre et tangent intérieurement au cercle (G0), on sait maintenant que la coïncidence subsiste dans tout le continuum intérieur aux deux cercles. On a d'ailleurs
Ri ^R0 H- | xi — x0 l;
car si R1 dépassait le second membre, le point x0 serait intérieur au cercle (G,) et, d'après ce qu'on a dit quand on supposait au contraire Xi intérieur à (C0), on doit avoir
R0 ^ Ri — I ^o — xi I •
Ainsi quand il y a un point ç intérieur à la fois aux deux cercles de convergence (C0), (Ci) pour lequel les deux fonctions o[x), ty(x) coïncident complètement, les deux cercles (C0), (Gj) peuvent se couper, l'un d'eux peut être tangent intérieurement à l'autre; mais il ne peut pas arriver qu'un des cercles soit intérieur à l'autre, (sans lui être tangent). Les rayons de convergence R0, Rj et la distance des centres | xi — x0 | satisfont aux inégalités.
I Ri — Ro I ^ 1 x> — xo |. Ri + Ro > I *i — '«o I-
Supposons la fonction fix) régulière en tout point du continuum (C); faisons correspondre à chaque point x0 du continuum le rayon de convergence R (cc0) de la série
/(*.) + "7'W h- {~:pY-f"(xo) + -;
la première des inégalités qu'on vient d'écrire permet de reconnaître immédiatement que la fonction R(.'c) définie dans tout le continuum, est continue en chaque point de ce continuum.
Si l'on considère un ensemble clos (D) contenu dans (G), la fonction R(a?) est uniformément continue dans cet ensemble; elle y atteint son minimum ; la borne inférieure de R (as) pour les points x qui appartiennent à (D) ne peut donc être nulle.
358. — Voici maintenant quelques propriétés des fonctions régulières en chaque point d'un continuum, qui résultent immédiatement des propositions qu'on vient d'établir. Dans le présent numéro, (p(x) désignera toujours une fonction régulière en chaque point du continuum (C), et x0 un point de ce continuum.
