CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

Si les dérivées de la fonction <p (se) à partir de la (n -+- i)ième sont toutes nulles au point x0, cette fonction se réduit au polynôme

Ce polynôme, en effet, peut être regardé comme une série entière en se — x0, convergente dans tout le plan et il coïncide complètement avec la fonction ©(se), au point x0.

Si toutes les dérivées à partir de la première, étaient nulles, la fonction ©(se) serait une constante; elle serait identiquement nulle si l'on avait en outre ©(sc0) = o.

Ecartons le cas où la fonction © (x) serait identiquement nulle et supposons qu'elle s'annule au point x0; il peut se faire que les dérivées ©'(se), ©"(se), • •• soient nulles pour x = se0; mais il y a certainement une première dérivée ©(n)(sc) qui n'est pas nulle en ce point; on peut mettre alors a (oc) sous la forme

tp (a?) = (x — x0)n <E> [x], en posant

$ (x) = ^-^-L -+- (x — xn) *-°- -h ... :

<t>(sc) est une fonction régulière en sc0, qui ne s'annule pas pour x = x0; dans ces conditions, on dit que x0 est une racine de ©(se) d'ordre n de multiplicité. En tout point du continuum, autre que x0, la fonction $ (se) pourrait être définie comme étant le quotient de ©(se) par (se — Xo)n; en un pareil point elle est régulière puisqu'elle est le quotient de deux fonctions régulières dont la seconde ne s'annule pas; la fonction

à laquelle on attribue, pour se = x0, sa vraie valeur

est donc régulière en chaque point de (C).

Il ne peut pas y avoir un ensemble (E) contenu dans (C), admettant x0 comme point d'accumulation, tel que ©(se) soit nul en

tous les points de cet ensemble : si, en effet, il existait un tel ensemble, la série entière en h

?K>) -*~ - ?'fa.) -+- j~ *"(xo) ■+■ ■•••

aurait une somme nulle pour une infinité de valeurs de /i aussi voisines de zéro qu'on le voudrait ; tous ses coefficients devraient être nuls.

Mais rien, dans la démonstration précédente, ne s'oppose à l'existence d'un ensemble (E), contenu dans (C), pour différents points duquel la fonction o(x) s'annulerait, si tous les points d'accumulation de cet ensemble appartiennent non à G), mais à sa frontière.

Si (D) est un ensemble clos contenu clans (G), l'équation w (x) = o ne peut avoir qu'un nombre fini de racines appartenant à l'ensemble (D).

En effet, si l'ensemble des points racines qui appartiennent à (D) était infini, il admettrait un point d'accumulation, qui serait un point d'accumulation de (D), qui appartiendrait donc à (D), puisque (D) est clos, et par conséquent aussi à (G) : la fonction © (as) serait identiquement nulle.

Soit 'j'(as) une fonction régulière en tout point de (C), comme

Si l'on a d>(?;>(as0) = o^(x0), pour toutes les valeurs dep qui dépassent n, la différence entre les deux fonctions d(as), <p(x) est un polynôme en x, de degré inférieur ou égal à n.

Si l'on avait <|>(js) = o [x) pour une infinité de points x appartenant à un ensemble clos, contenu dans (C), on pourrait affirmer l'identité des deux fonctions di (oc), ©(as), dans tout le continuum C .

359. — Soit toujours <p(x) une fonction régulière en tout point du continuum (G) ; je suppose essentiellement que cette fonction ne soit pas identiquement nulle. Soit D) un domaine simple contenu clans (C). On a vu que les points de (D) pour lesquels ©(as) s'annule sont en nombre fini et que la fonction ©(as), si elle s'annule pour un point a du continuum pouvait se mettre sous la forme