CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES OOO

en désignant par ©i(œ) une fonction, régulière en tout point du continuum, qui ne s'annule pas pour x = a.

Soit maintenant b une autre racine de Z)(x) appartenant à D ; ce sera aussi une racine de fi(x) ; on pourra écrire

en désignant par (D^x) une fonction, régulière en tout point du continuum, qui ne s'annule pas pour x = b, non plus que pour x = a ; on a alors

cp (x) = (x — a)7- (x — b)? o2(x),

et l'on reconnaît sur cette égalité que |3 est l'ordre de multiplicité de la racine b, pour o (ce). En continuant ainsi, on arrive à la conclusion suivante :

Soient a, b, ..., /les racines de ®(x) qui appartiennent au domaine (D) et a, 8, ... ). les ordres de multiplicité de ces racines ; on peut mettre o (x) sous la forme

cp(rr) = (a; — a)x (x — b)° ... (x — /)H(»,

en désignant par O(as) une fonction régulière en tout point de (G) et qui ne s'annule pour aucun point de (D).

En raisonnant maintenant comme on a fait au n° 334 on reconnaît que si le point x décrit la frontière iF du domaine (D), dans le sens direct, l'argument de (d(x) s'accroîtra de la quantité 27i (a -+- |3 -t- ... 4- X) ; inversement, si l'on a un moyen d'évaluer l'accroissement de l'argument de c x) quand le point x décrit une courbe fermée simple contenue clans (G), on a, par cela même, le nombre de racines de la fonction oix) contenues à l'intérieur de cette courbe. On peut dire encore que le nombre a + ^ + ... + )> est l'ordre du point o par rapport au lien fermé décrit par le point (p(x) quand le point x décrit la courbe simple (F), dans le sens direct.

Il est à peine utile de remarquer que si A est une constante, la fonction o(x) — A est régulière comme la fonction o{x). Par conséquent, il n'y aura qu'un nombre fini de points de (D) pour lesquels la fonction ç>[x peut prendre la valeur A. La variation de l'argument de gx — A quand le point x décrit, dans le sens

direct, la courbe fermée simple» (F) est le produit par 2tt du nombre de racines de l'équation © (x) = A appartenant au domaine (Dj, chacune étant comptée avec son ordre de multiplicité.

360. — J'emploierai le symbole P(ic ; a) pour désigner une série entière en a? — a ; la lettre P peut d'ailleurs être affectée d'un indice, afin de distinguer des séries qui procèdent suivant les puissances du même binôme. Une série P(a?; a) semble tout d'abord ne définir une fonction qu'à l'intérieur de son cercle de convergence; mais les propositions établies dans les numéros précédents permettent souvent de continuer la fonction au-delà du cercle de convergence; une telle série est ce que Weierstrass appelle un élément de Jonction, analytique ; on verra tout à l'heure comment il permet d'engendrer les autres.

Je désignerai sous le nom de chaîne de cercles et de chaîne correspondante à' éléments de fonction, une suite de cercles

(C), (co. - (c„)

dont chacun, sauf le dernier, contient à son intérieur le centre du cercle suivant, et une suite d'éléments de fonction

V{x; a), P(.r; a,) V(x ; an),

pour lesquels les points a, an ..., an sont les centres respectifs des cercles (C), (Ci), ..., (C„), chaque série qui représente un élément de fonction étant convergente à l'intérieur du cercle correspondant et coïncidant complètement au centre de ce cercle avec l'élément de fonction qui précède.

Les cercles peuvent être les cercles de convergence des éléments de fonction qui leur correspondent.

Considérons un lien (L) ayant son origine au point a et son extrémité au point h ; je suppose, comme d'habitude, que les points de ce lien soient déterminés au moyen d'un paramètre réel t ; je désignerai en général par la lettre c., affectée ou non d'indices, le point, du lien qui correspond à la valeur / du paramètre, affectée ou non des mêmes indices.

Imaginons qu'on intercale entre a et fi les nombres croissants /,, /., ••• £»ij auxquels correspondent les points £n ç.,, ... £„i. Il nous sera commode d'employer les lettres /0, /„, !;„, |„ avec la

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même signification, respectivement, que les lettres a, (l, a, b. Désignons par (A), (7o), ..., (/„) les liens partiels que l'on obtient en faisant varier / de t0 ou a à tlt de ti à t2 .*., de tn i à 2„ ou |3. Supposons qu'on puisse constituer deux chaînes correspondantes de cercles et d'éléments de fonction qui jouissent des propriétés suivantes : Les cercles

ont pour centres respectifs les points ç0 ou a, ç,, ..., ^n 1? |„ ou è ; les /i premiers contiennent respectivement à leur intérieur les liens partiels (/,), (/2), ..., (/.„) ; quant aux éléments de fonction correspondants

le premier est donné et l'élément P(sc; £P) est déterminé par la condition de coïncider complètement avec l'élément précédent P(x; 'ép-i) au point fr

Soit maintenant /: une valeur du paramètre, appartenant par exemple à l'intervalle {tp i, tf< et £ le point correspondant, qui fait alors partie du lien (lp). A ce point £, ou plutôt au nombre /, faisons correspondre, d'une part, un nombre que je désignerai par ©*(£) et, d'autre part, une série entière en x — ç, que je désignerai par Pr(cc ; £), le nombre <p<(£) est la valeur que prend en £ la série P(œ ; 2;j i) ; la série P,(x ; £) est la série entière en x — £ qui coïncide complètement en £ avec la fonction P(x; £,,,) ; on a d'ailleurs (pi('£) = P«(£", S). Si if était égal à /,,, la série P^(x ; BP) ne serait autre chose que la série qu'on désignait plus haut par P (x ; ëp) et cjui coïncide complètement en £p avec la fonction

Le lecteur reconnaîtra tout de suite la vérité des propositions suivantes :

Si les nombres t' , t" appartiennent à l'intervalle (a, jS) et sont suffisamment voisins, les deux séries

P,(*;Ê').Pr(*iP)

coïncident complètement en tous les points du lien partiel que l'on obtient en faisant varier t de t' h t"; pour tous les points de ce lien partiel, leur valeur est égale à celle de la fonction ©/£).

Tannehy II. — Introduction à la Théorie îles fonctions 22

Cette dernière fonction, considérée comme une fonction de /, est continue clans l'intervalle [a, S)-

Le rayon de convergence Ri(S) de la série V/rx ; c) est aussi une fonction continue de t dans le même intervalle et reste supérieur à un nombre positif fixe ; cette dernière proposition s'établit en raisonnant comme à la fin du n° 357.

Il convient de remarquer que les séries P/x; £), à supposer qu'elles existent, sont déterminées par la fonction ©/(£), puisque deux séries entières en x — |, qui prennent les mêmes valeurs pour les points d'un ensemble infini admettant le point c pour point d'accumulation sont identiques terme à terme : les points du lien (L) voisins de £ constituent un tel ensemble.

En partant du même élément initial P (x ; a) et du même lien (L), on aurait pu intercaler entre a et jS, au lieu des nombres tt, t,, ... tn{, d'autres nombres t'r /',, ... t'T i auxquels auraient correspondu sur le lien les points ç[, cl, ••■, ç,'i puis des séries P(as; £i), ...; en procédant de proebe en proche, le lecteur se convaincra sans peine qu'on serait parvenu au même résultat final, aux mêmes fonctions Vt(x\ ç), 0/(|) que tout à l'heure. Dès lors il se rend compte de ce qu'on doit entendre quand on dit que, en partant du point a avec l'élément de fonction P(sc, a) et en suivant le chemin (L), on parvient au point ç, qui correspond à la valeur / du paramètre, avec l'élément de fonction Pt(as; c\ et avec la valeur ©,('ç) = P*(ç ; ç).

Si le lien (L) était simple et ouvert, on pourrait simplifier un peu les notations ; un point ç du lien ne peut alors être fourni que par une seule valeur du paramètre / ; on pourrait alors supprimer l'indice t dans les symboles ©*(£), Vt(x; '£), ... ; mais quand un même point ç correspond à plusieurs valeurs de /, il est nécessaire de garder, par exemple au moyen de l'indice, la trace de la valeur de t d'où l'on suppose que le point ç provient, car rien n'implique clans les hypothèses précédentes, qu'aux diverses valeurs de / qui fournissent le même point £ correspondent le même nombre a c , la même série P [x ; £). Si, en particulier, le lien est fermé, si le point b est le même que le point a, rien n'oblige à supposer que les séries sont identiques, que l'on a désignées plus haut par V (x ; a), P x ; b) et que l'on pourrait désigner plus explicitement par Pa x ; a , Pp x : b , dans le cas surtout où l'on a b = a.