CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES 33g

361. — - Reprenons, en conservant les mêmes notations, la suite de séries

il est clair que les conditions qu'on a imposées à ces séries, seront vérifiées d'elles-mêmes pour les séries dérivées

qui ont mêmes cercles de convergence c[ue les séries primitives : si l'on partait du point a avec la série P' [x ; a) et si on appliquait à cette série le même procédé qu'on a appliqué à la série P(œ; a), en suivant le chemin ,L), on parviendrait au point c avec la. série ~P't(x, ç). La même observation s'appliquerait aux dérivées seconde, troisième, ...

Désignons maintenant par

®(x;a), S(x\^), «(as; y,..., S{x,b)

les séries qui ont pour dérivées premières les séries

V(x;a), PfcjÇJ, P(a?;5a) P(*, 6)

et qui s'annulent respectivement pour a;=«, a?=£, , a?=£2, . . . , x=6 ; ici encore les séries correspondantes ont même cercle de convergence. Il est aisé de voir que les séries avec lesquelles on parvient, en suivant le chemin L, aux points çl5 |2, ..., b, en partant du point a, avec l'élément de fonction £(x ; a) sont respectivement

«(St; a) -h 35(5,;^) h- ••• -h «(*; è«-i). «(Ç, ; a) + ... + £(6; £„,) + £(*: 6).

La remarque suivante ne sera peut-être pas inutile : supposons que le lien (L) soit un lien fermé simple, en sorte que le point 6 coïncide avec le point a, et que la série P (x, b) soit identique à la série P (x, a) ; la série S (x, b) sera bien identique à la série S (x, a) ; mais la valeur avec laquelle on parvient au point 6, c'est-à-dire

£(Êi;a)H-S&; Çf) + ... H- if (6 ; L.)

3/jO INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

n'est pas, pour cela, identique à la valeur c£(a, a) = o avec laquelle on était parti du point a.

362. — Si le lien (L) est intérieur au cercle de convergence C(a) de la série P (as ; a), rien n'empêche de procéder comme on l'a expliqué au n° 360 ; mais le résultat n'est guère intéressant, l'élément de fonction P, (as ; £) qui correspond à chaque point c;du lien n'est autre que la série entière en as — 2 qui au point 2 coïncide complètement avec la fonction P(as ; a) ; en tout point 2 du lien la fonction (Ot(c) est égale à P(2; a). Dans ces conditions, on a donné une forme nouvelle à la fonction P(as, a), on ne peut pas dire qu'on l'a prolongée. Il en est tout autrement quand le lien (L) sort du cercle G (a). On n'oubliera pas dans ce cas que la valeur avec laquelle on arrive en b dépend en général du chemin suivi ; si, en particulier, le point b est intérieur au cercle G (a), on ne revient pas nécessairement en 6 avec la valeur de la fonctioi^ P (x ; a) en ce point.

Lorsqu'il existe une fonction d>(as), régulière clans un côntinuum (C), que a est un point de ce côntinuum, que la série P(x ; a) est la série entière en x — a qui coïncide complètement en a avec la fonction <|(as) et que le lien (L) est intérieur au côntinuum (G), la série P (as ; 2) qui correspond à n'importe quel point 2 du lien coïncide toujours complètement en 2 avec la fonction d» (x) ; en particulier, quel que soit le chemin suivi, pourvu que ce chemin soit intérieur au côntinuum (G), on arrive au point b avec la même valeur et le même élément de fonction P (x ; b).

Si on se donne le point a, l'élément de fonction P (as ; a), le point b et le lien (L), il n'est pas toujours possible de procéder comme on l'a expliqué, de trouver des nombres intercalaires qui satisfassent aux conditions imposées ; si l'on ne se donne pas le lien (L), et si on se donne a, b et P (as ; a), il n'existe pas toujours de lien (L) allant de a à b, pour lequel les opérations décrites soient possibles.

Il y a en effet des séries P(as; a) telles que, quel que soit le point 5 intérieur au cercle de convergence G(a), le rayon de convergence R (|) de la série P (as ; |) qui coïncide complètement avec la fonction P(as ; a) au pointe: soit toujours égal à R [à — r — a\; en d'autres termes le cercle de convergence C (£) est toujours le