CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES 34 ï

cercle, de centre c, tangent intérieurement au cercle C (a) ; de quelque façon qu'on choisisse le point £, on reste enfermé dans le cercle C (a) ; telle est par exemple la série

f(x) = ï + x + a;1-2 -+- ce1-'2*3 -h ... -+- a;1-2"3---» -+- ...

signalée par M. Lerch, pour laquelle le rayon de convergence est ï; on reconnaît sans peine que, pour tout point du cercle de convergence dont l'argument est commensurable à tt, tous les termes de la série finissent par être égaux, à ï ; en un pareil point x' , la série est divergente en ce sens que la somme des n premiers termes devient aussi grande qu'on le veut pourvu que n soit assez grand ; si l'on s'approche de x' , en suivant le rayon, f(x) croîtra indéfiniment en valeur absolue, comme il est bien aisé de s'en assurer; or cela est incompatible (n° 342^ avec la supposition qu'on puisse enfermer le point x' à l'intérieur du cercle de convergence d'une série P {x ; £), entière en x — £, qui coïnciderait complètement au point £ avec la fonction J(x). Il est impossible de prolonger la fonction f(x) au-delà du cercle de centre o et de rayon ï .

Weierstrass donnait le nom de fonction analytique à l'ensemble de toutes les séries P {x ; ç) entières en x — c que l'on peut déduire d'un élément de fonction particulier P (x ; a), par le procédé expliqué plus haut, en suivant un chemin allant de a à ç. Le mot fonction est pris alors dans un sens tout autre que celai qu'on lui a attribué dans le présent livre et c'est dans un sens un peu différent que sera employée l'expression de fonction analytique. Il convient toutefois de remarquer que l'ensemble considéré est entièrement déterminé par l'une des séries, ou si l'on veut, par la suite des coefficients de cette série : Deux fonctions analytiques, au sens de Weierstrass, coïncident quand elles ont en commun un élément de fonction.