III. — FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

363. — On a défini, au début du présent chapitre, les fonctions rationnelles d'une variable imaginaire, puis quelques fonctions agébriques simples comme \/x, \/i — x2 etc.. Les propositions générales que l'on a démontrées ensuite sur les séries entières, sur

les séries et produits infinis qui peuvent se transformer en séries entières, enfin sur le prolongement d'une fonction, fournissent un moyen naturel d'étendre aux variables imaginaires la définition et les propriétés d'un grand nombre de fonctions d'une variable réelle. Si l'on sait, par exemple, qu'une fonction f(x) de la variable réelle x est, dans un certain intervalle, développable en une série entière en x, ou qu'elle peut être mise sous forme de l'une de ces séries ou de l'un de ces produits infinis que l'on a considérés au n° 349, on pourra prendre cette série, ce produit infini comme définition de la fonction de la variable imaginaire x ; cette définition sera valable dans un continuum (C) contenant la portion de de l'axe réel qui représente l'intervalle considéré, ou une partie de cet intervalle. Si maintenant on connaît une propriété de la fonction de la variable réelle qui s'exprime par quelque égalité dont les deux membres soient des fonctions régulières en tout point du continuum (G), cette égalité subsistera dans tout le continuum, et la propriété qu'elle exprime sera ainsi étendue. Le présent paragraphe contiendra un grand nombre d'applications de cette méthode.