CHAPITRE VII. INTEGRALES DEFINIES

Si, au lieu d'introduire un seul nouveau nombre intercalaire, on en introduisait p — i, il est clair, puisqu'on peut introduire un à un ces nombres intercalaires, que l'on peut écrire

en désignant par 2: la somme supérieure relative à la nouvelle décomposition. On aura de môme pour les sommes inférieures

Il est bien évident que ces inégalités subsistent lors même que quelques-uns des nouveaux nombres intercalaires se confondent avec les anciens.

Considérons maintenant trois décompositions .

(do, «i, ..., an i, a), (a„, a[, ..., a'p u a), (a0, *i, ..., a)

et les sommes supérieures correspondantes S, S', 1. Les deux premières décompositions sont quelconques ; quant à la troisième, je suppose que les nombres a0, c/.i, ..., a ne soient autre chose que les nombres a0, al5 ..., an.1, a[, ..., a'v it a rangés par ordre de grandeurs croissantes, en sorte que cette troisième décomposition est obtenue soit en introduisant dans la première p — i nouveaux nombres intercalaires a[, a'2, ..., a L l5 soit en introduisant dans la seconde n — i nouveaux nombres intercalaires alf a2, ..., an l. On aura évidemment, en vertu des inégalités précédentes

240. — Ces préliminaires établis, j'arrive aux définitions. La fonction f(x) est dite iniêgrable dans l'intervalle (a0, a) s'il existe un nombre J jouissant de la propriété suivante :

Toute somme relative à une décomposition quelconque de l'intervalle (a0, a) diffère aussi peu qu'on le veut du nombre J, pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits. D'une façon plus précise, à chaque nombre positif s correspond un nombre positif yj tel que la différence entre J et n'importe quelle somme relative à n'importe quelle décomposition de l'intervalle (ao5 à) soit moindre que s, pourvu que, dans cette décomposition, l'écart de chaque intervalle partiel soit moindre que yj.

C'est ce que l'on exprime souvent en disant que le nombre fixe J (à supposer qu'il existe) est la limite d'une somme (variable) relative à une décomposition (variable) de l'intervalle (a0, a), lorsque le nombre des intervalles partiels croissant indéfiniment, les écaiis de ces intervalles décroissent indéfiniment. Le mot limite n'est pas pris ici dans le sens précis où on l'a employé jusqu'ici ; mais l'idée est la même : une somme relative à une décomposition dépend de cette décomposition, des valeurs choisies pourri, f±, ... ; elle varie quand la décomposition ou les valeurs choisies pour fi>A> ••• varient; pourvu que les écarts des intervalles partiels tendent vers o, la somme s'approche de la limite J.

En supposant toujours l'existence de J, il est commode de dire d'une somme

(«1 — «o)A + («2 — «l)/i H- ... (a — Cln-^fn

qu'elle est une valeur approchée de J, et une valeur aussi approchée qu'on veut, pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits.

Quoiqu'il en soit, si le nombre J existe, il est ce qu'on appelle la valeur de l'intégrale définie de la fonction f(x) prise clans l'intervalle (a0, a) ou encore entre la limite inférieure a0 et la limite supérieure a ; on le représente par le symbole

f(x) dx,

qui s'énonce somme de a0 à a de f(x) dx. Le signe fesl un S déformé, initiale du mot somme ; le symbole dx, placé à côté de J{x), est la trace de ces différences a 1 — a0, «2 — ai, ..., a — an x qui figuraient dans la somme relative à la décomposition fa0, ay, ..., a). La lettre d est l'initiale du mot différence.

Les fonctions intégrables au sens précédent sens de Riemann) constituent une classe particulière parmi les fonctions bornées clans l'intervalle (a0, a). Ce que je vais dire maintenant ne suppose pas que la fonction f(x) appartienne à cette classe, mais seulement qu'elle soit bornée.

241. — Désignons par (E l'ensemble des sommes supérieures S : un nombre A appartient à (E) s'il est une somme su-