CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFIMES 3g

et l'erreur commise en substituant la somme à l'intégTale sera au plus égale à la somme r) des écarts de la fonction f'x) dans les intervalles partiels (a0, ai), («i, a,.,), ..., [an i, a) respectivement multipliés par les écarts ai — a0, a> — ai. ..., a — an i de ces intervalles ; de même les quantités

Si = [aA — a0)/0 ,

s, = (aL — a0)f0 H- (a2 — ai)ji ,

Si = (ai — a0)f0 -+- (a, — a^fa -h ... -h (a* — Bfc-^/f-i pourront être prises pour des valeurs approchées des intégrales

f(x)dx, I f(x)dx, ..., j f(x)dx

a0 ,Ja0 ,/a0

et, pour chacune d'elles, Terreur sera moindre que r) ; si donc on désigne par A0 et A les bornes inférieure et supérieure, dans l'intervalle (a0, a), de la fonction

j f(%) dx

on peut affirmer que les quantités si, s-y, ..., sa appartiennent toutes à l'intervalle (A0 — cî\ A -h r}) ; enfin, je rappelle que, si s est un nombre positif arbitrairement donné, on peut supposer la décomposition (a0, al5 ...', an t, a) telle que l'on ait â <; s.

Ceci posé, soit (p(x) une fonction de la variable x qui. dans l'intervalle («o, à), ne soit jamais négative, qui, en outre, soit noncroissante ; la fonction f x^o (x) sera intégrable dans l'intervalle (a0, a).

Si, tout en conservant les notations précédemment adoptées, on désigne par ©0, ©1, ••-, ©„i les valeurs de la fonction os (x) pour les valeurs aQ, ols ..., a„j attribuées à la variable x, la somme

S = («! — a0)/o<p0 + (a2 — aO/iri H- ... -h (a — a„i)/„-i <?„i,

sera une valeur approchée de l'intégrale

J = I /(#) <?(x)dxm

et la décomposition (a0, ai, ..., an 1, a) peut être supposée telle que les conditions précédemment imposées, relatives à la fonction f(x), soient vérifiées et que l'erreur commise dans l'évaluation de la dernière intégrale soit moindre que s. Dès lors les quantités ©o, ©i, ..., ç„1 étant toutes positives (ou nulles; et formant une suite non croissante, et les quantités sQ, si, ..., sn l appartenant toutes à l'intervalle (A0 — e, A H- s), la quantité S appartiendra à l'intervaile [(À0 — s) ©o, (A + s) ©0], ainsi qu'il résulte de l'identité

S == cp0Sl -h <pj («a — Si) -+- ... H- ?n-l(»»j — sn-l)

= «i(?0 — <?i) + *i(?i — <?2) ~\~ ••■ +SJI i(<p„2 — ?„i) +S;iOn 1,

dans le dernier membre de laquelle toutes les quantités

<?0 — <Pi> ?1 — ?2' ••■' fn-2 — ?n-i> ?«-l

sont positives ou nulles ; mais les inégalités

(A0 — s)cp0^S<(A + E).?0, S — £ < J < S + £,

entraînent les suivantes :

Ao'fo — e(o0 + 0 < J < Aç0 -Ke('fo + i) /

et, comme s peut être pris aussi petit que l'on veut, il faut que l'on ait

Aoç*o ^ J ^ A'fo ;

c'est la proposition que j'avais en vue. En résumé, si, dans l'intervalle (a0, a), la fonction f(x) est bornée et intégrable, si. dans le même intervalle, la fonction (p(x) n'est jamais négative et, en outre, non-croissante, on aura

(1) ?(a0)A0<;l f(x)o(x)dx<^o(a0)A,

en désignant par A0 et A les bornes inférieure et supérieure de la fonction de x,

fXf(x)dx, continue dans l'intervalle (a0, a).