CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES 3/i

Pour ce qui est de la signification du premier membre (i -h x)m de l'égalité (i }, il y a lieu d'examiner successivement le cas où m est entier, fractionnaire, irrationnel, imaginaire.

Supposons d'abord m entier ; (i -+- x)m a un sens bien net, c'est une fonction rationnelle de x, un polynôme de degré m quand m est entier et positif; l'égalité (i) résulte alors des règles qui concernent la multiplication, elle est vraie quel que soit x. Il est aisé de voir qu'elle subsiste quand m est un entier négatif, sous la condition | x | -< i.

Si en effet, on multiplie le second membre f{x) par le polynôme

de degré — m

et qu'on ordonne par rapport à x, on trouvera i comme résultat (n° 346} puisque, lorsque x est réel, le produit de (i -+- x)m par (i -h x)~~m est égal à i. La règle pour multiplier deux séries entières en x, ou une série entière en x par un polynôme en x, ne dépend pas de la réalité de x : pourvu qu'on ait j x J <i i, le second membre de l'égalité (i) multiplié par le polynôme (i -+- x)~ m donne i comme produit.

L'égalité ( i) est clone établie lorsque m est un nombre entier négatif, sous la condition | x j <C i.

Examinons maintenant le cas où m est un nombre rationnel non

entier ; je suppose que m soit égal à la fraction irréductible , à

dénominateur positif; il est bien aisé de voir que l'on a alors, pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition j x j <C i,

(2) [f(-r)]" = {i-hxy.

L'expression [/(as)]5 s'obtient en effet en faisant le produit de q séries égales kfix)-, d'après la règle de multiplication des séries, valable sous la condition ) x J <C i ; sous cette condition et si x est réel, la somme de la série entière en x ainsi obtenue doit être égale à (i H- x)v et, par conséquent, à la série (ou au polynôme)

i -+-'-x-h t-SL — — ' x- + ...

qui doit donc (n° 346) être identique terme, à terme, à la série produit; l'égalité (2) est établie sous la condition ] x | << 1,

Sous cette condition, la fonction j [x), qui a un sens bien précis, fournit donc une solution de l'équation en y

(,3) yi = (i+xy;

mais cette dernière équation, quand on se donne x, ne détermine pas complètement y, qui est susceptible de q valeurs, toujours distinctes tant que x n'est pas égal à — 1 et qui se déduisent de l'une quelconque d'entre elles, en la multipliant par les q racines de l'unité (n° 325). Il importe de savoir distinguer laquelle de ces racines est égale à la série f(x) .

Soit a un nombre positif fixe plus petit que 1. Dans le domaine défini par l'inégalité ] x J <j a, !a valeur absolue de la différence entre deux racines de l'équation (3) reste supérieure à un nombre

positif fixe ; elle est, en effet, au moins égale à 2/1 — a sin -

(n° 325). D'ailleurs, dans ce domaine, la fonction f(x) est continue ; il y a donc, dans ce domaine, q fonctions continues qui vérifient l'équation (3), et qui restent distinctes entre elles, puisque la différence entre deux d'entre d'elles reste supérieure à un nombre fixe. Celle des solutions de °' ' l'équation (3) que l'on a désignée par

f(x) jouit de cette propriété de se réduire à la valeur arithmétique

de \/(i -t- x)v quand x est réel et appartient à l'intervalle ( — a, a).

' '' D'un autre côté, un procédé pour définir sans ambiguïté (1 + x) 1

consiste à regarder sa valeur absolue comme étant égale à la valeur arithmétique de y/| 1 -4- x \v et son argument comme étant égal au

produit par^ de l'argument de 1 -h x (n° 327); dès que l'on a

choisi ce dernier argument, la signification de (1 -4- x)q est fixée.

Or il suffit de regarder la figure 38 pour constater que, lorsque x est

un point intérieur au cercle de centre o et de rayon 1, l'argument

de 1 -+- x, ou l'angle dont le premier côté est la direction positive

sur l'axe réel et dont le second côté est la direction qui va du