CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

point — i au point x, peut être supposé compris entre — - et 4- - ;

il est alors nul quand x est sur l'axe réel ; le point x est supposé ne pas atteindre le point — 1 où l'argument de 1 -+- x serait complètement indéterminé. Dans le domaine | x j < a, l'argument ainsi défini est une fonction continue de x, il en est de même de

son produit par , delà valeur arithmétique de y/] 1 -+- x \i' et enfin

v de la fonction (1 4- x) q définie comme ayant son argument égal

au produit par - de l'argument de 1 -h x. Cette fonction (1 -+- x) q ,

ainsi définie, a d'ailleurs son argument nul, quand x est réel et appartient à l'intervalle ( — a, a) ; elle est alors réelle et positive, elle coïncide donc avec f{x) dans tout le domaine J x | < a. Il en est d'ailleurs ainsi dans tout le continuum défini par l'inégalité j x \ <^ 1 :, puisque le nombre a peut être supposé aussi voisin de 1 qu'on voudra.

Dans le cas où l'on aurait = = — , la fonction f(x), dont

J argument doit être compris entre — j et -. , peut être caractérisée

comme étant celle des valeurs y/i -f- x ou de — = == dont la partie

Vi H- x

réelle est positive; notons en particulier l'égalité

valable sous la condition j x j < 1, et dans laquelle il est entendu que le premier membre a sa partie réelle positive.

Si m est un nombre irrationnel, la fonctiony(,r), en supposant toujours \x\ < 1 , peut être regardée comme ayant ) 1 -t- x\m pour valeur absolue et un argument égal au produit par m de l'argument de

1 H- x supposé compris entre — - et — . C'est ce qui résulte aisément de la continuité de ia fonction f(x) regardée comme fonction de m. L'égalité (1 ) subsiste donc en adoptant pour (1 -+- x)m la définition qu'on vient de donner au moyen de la valeur absolue et de l'argument.

Dans le cas où m est imaginaire, l'égalité (1} pourrait servir à

définir i H- x)m lorsque l'on a | x | < i ; c'est une autre définition qui sera adoptée ultérieurement ; le lecteur n'aura pas de peine à faire le raccord. Je me borne à observer que, si l'on suppose j x | <C i , /(x), regardée comme une fonction de m, peut être développée en une série entière en m, convergente quel que soit m ; c'est une conséquence aisée du théorème I du n" 349.