La série

est convergente dans tout le plan, sa somme est ce qu'on a appelé une fonction (transcendante^ entière ; lorsque x est réel, cette somme n'est autre chose que e* ; il est naturel de définir, quelle que soit la variable x, la fonction ex par l'égalité

i) ex = i -\ 1 f- ... h h..-;

' 1 1.2 1.2... Il

d'ailleurs le raisonnement du n° 189 permet de reconnaître que la série qui figure au second membre est, quel que soit le nombre x, la limite vers laquelle tend l'expression

quand n croît indéfiniment par valeurs naturelles.

La règle de la multiplication des séries s'appliquant aux séries absolument convergentes, il est clair que la fonction ex jouit de la propriété

(2) ex X en = eT+y,

d'où l'on conclut, en particulier ;

ex x e~ x = e° = 1 .

En remplaçant, dans la définition de cr, x par xi, on trouve

/q< xi xi .'•- x2i .r'1'