CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

de la convergence absolue du second membre résulte la convergence absolue, pour troutes les valeurs de x, des séries

«A/ %Aj %Xs

qui s'aperçoit d'ailleurs directement : les fonctions entières que ces séries définissent dans tout le plan, sont précisément, lorsque x est réel, les fonctions cos x et sin x définies au n° 197 ; ici encore, les seconds membres des égalités

in x = g H -—= — •••

définissent les premiers membres, quel que soit x ; des fonctions cos x, sin x, la première est paire et la seconde impaire. On a d'ailleurs, en vertu de l'égalité (3), et en changeante en — x dans celte égalité

(5) exi = cos x -(- i sin x, e~xl — cos x — i sin x,

et, par conséquent,

//n eTi H- e-'1 . eli — e~ri (0) cos x = , sin ,r = — — :

Si, dans ces formules, on remplacée par x-\-y, puise(r+y)i, e -(z+^' par

exi ^ eyi ^cos x | j s;n x^j (cos y | f sin j),

e~xi X e~y' = (cos x — i sin as) (cos y — i sin y),

il vient

\ cos (jc H- y) = cos x cos y — sin x sin y ) sin (x H- y) = sin x cos y -+- cos x sin y.

C'est à Euler que sont dues les formules qui relient la fonction exponentielle aux fonctions trigonométiiques.

La fonction tg x sera définie, pour toutes lés valeurs de x qui n'annulent pas cos x par la formule

sin x

et les formules (7) conduiront sans peine à la relation

, > tg x H- tg y tg (x + y) = — 8— - ?-^- •

D \ J / j tg CC tg J

On a introduit au n° 195 les notations

, ex -+- e~x , eT — e~x eu. x ■=■ , sh x = ,

et l'on a établi quelques relations qui mettent en évidence les analogies des fonctions ch x, sh x, th x avec les fonctions cos x, sin x, tg x ; il ne s'agissait alors que de variables réelles, mais rien n'empêche, maintenant que la fonction ex est définie pour toutes les valeurs de x, d'adopter les précédentes formules pour définir les fonctions ch x, sh x, th x quel que soit x ; les relations établies au n° 195 subsistent ainsi que les démonstrations ; on a d'ailleurs à cause des formules (6)

ch x = cos ix, sh x = . sin ix, th x = - tg ix ;

et ces relations montrent que l'emploi des notations ch x, sh x, th x est inutile ; il est toutefois consacré par l'usage et il est commode pour séparer les parties réelles et les parties imaginaires.

Remarquons, à ce sujet, que l'on a, en désignant par a et 6 des nombres réels quelconques,

ea+bi ea ebi — ea (cos £ j j sJn ^

cos (a -h bi) = cos a ch b — i sin a sh b, sin (a -h bi) — sin a ch 6 -h i cos a sh 6.

Les règles pour les dérivées des fonctions e1', cos x, sin x, tg a?, ch ce, sh x, th x résultent immédiatement des nos 350, 354. Les formules sont les mômes que lorsque x est réel.

La démonstration qui a été donnée au n° 198 des formules