CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

subsiste, quel que soit x ; mais il convient de remarquer que la vérité de ces formules quand x est réel entraîne leur généralité :

en effet, cos as et sin ( - — x), par exemple, sont des fonctions de

x partout régulières ; la relation cos x == sin f- — x), vraie pour

toutes les valeurs réelles de x, montre que ces deux fonctions coïncident complètement en un point quelconque x0 situé sur l'axe réel ; si on les prolonge à partir de ce point (n° 357)., le long d'un chemin quelconque, elles ne cesseront pas de coïncider complètement ; la relation cos x = sin ( - — x] a donc lieu quel que soit x.

C'est le mode de raisonnement sur lequel on a appelé l'attention au début du présent paragraphe.

La fonction ex ne s'annule jamais ; si en effet on a x = a + iv, u et v étant réels, on aura

et aucun des facteurs du second membre ne peut être nul.

Il est aisé de construire une infinité de fonctions entières qui jouissent de cette propriété. Si, en effet, g ,x) est une fonction entière, il en sera de même (n° 349) de la somme de la série

i + 3(x) + [jl(*)J! , IgMil + ..

dont la valeur est e!l{r) et cette valeur n'est jamais nulle. Réciproquement il résultera de considérations ultérieures que toute fonction entière qui ne s'annule pour aucune valeur de x peut être mise sous la forme e9(r) en désignant par g (x) une fonction entière.

On étudiera bientôt la résolution d'une équation telle que ex=a, où a est un nombre donné ; de là et des relations entre la fonction exponentielle et les fonctions circulaires résulte immédiatement la résolution d'équations telles que

cos x = a, sin x = a, tg x = a, ch;r = a, etc.

Je veux me borner à remarquer ici que les équations cosx = o, sin as = o n'admettent pas d'autres solutions que les solutions réelles ; le lecteur n'aura aucune peine à tirer ces résultats des

35û INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

formules d'addition ; il les reconnaîtra aussi sur les produits infinis qui représentent cos x et sin x, produits infinis qui^ comme on le verra bientôt, conviennent aussi bien, que x soit réel ou qu'il soit imaginaire.

366. — ■ Les fonctions cos x, sin x admettent la période it. ; la fonction e,x, à cause des formules (5) du numéro précédent, admet cette même période ; la fonction eT admet donc la période 21/, ce qui résulte d'ailleurs des égalités

2 Tii est d'ailleurs une période primitive ; c'est-à-dire qu'elle n'est pas un multiple entier d'une autre période ; en d'autres termes, si

n est un nombre naturel, — n'est pas une période pour la fonction eT ; l'égalité

e n = ex^

entraînerait en effet l'égalité en =1, qui n'est pas vraie. Les fonctions ch x, sh x admettent évidemment la même période 2 7Eï que eT ; ni est une période primitive pour th x.

Supposons que le plan des x soit décomposé en bandes égales par des parallèles à l'axe réel, telles que la distance entre deux parallèles soit égale à 2 n, et considérons l'une (B) de ces bandes. On connaîtra la fonction er dans tout le plan si on la connaît pour tous les points qui appartiennent à cette bande (B) ; en effet à tout point x du plan correspondra un point x' appartenant à (B), ayant même abscisse que x et tel que la différence des ordonnées soit un multiple de 2 7t ; le point x' sera unique si le point x n'est pas sur une des parallèles ; s'il est sur une de ces parallèles, on peut le prendre sur l'une ou l'autre des deux droites qui forment la frontière de (B) : clans tous les cas, la fonction ex aura la même valeur aux points x et x' .

Prenons en particulier pour la bande (B) la bande limitée par les deux parallèles (P), (Pj) à l'axe réel, situées de part et d'autre de cet axe, à une distance égale à t. Il y a intérêt à connaître la façon dont se correspondent le point x de cette bande et le point y = eT ; je regarderai ce dernier point comme l'image du point x.