CHAPITRE XI

FONCTIOiNS DE VARIABLES IMAGINAIRES

Posons donc x== n H- iv, u et v étant deux nombres réels dont le second appartient à l'intervalle ( — ~, rr), on aura

y = e**-H» = eu (cos v -+- i sin v) ;

la valeur absolue de y est e11 ; son argument peut être pris égal à u. Il est commode de regarder les points x, y comme appartenant à des plans distincts que l'on désignera sous le nom de plan des x et de plan des y.

Jtr

ar

-Tt7

fyi)

Fig 3o

Donnons à u une valeur fixe appartenant à l'intervalle — ix, rr) et supposons que « croisse de — 90 à H- 00 ; en d'autres termes, # décrit une droite (1) parallèle à l'axe réel ; l'argument de y restera fixe, sa valeur absolue croît de o à -+- 00 ; le point y décrit donc la demi-droite (V) qui part du point o et dont l'argument est v ; à proprement parler, le point y n'est jamais au point o, dont on peut dire qu'il est l'image du point à l'infini à gauche sur la droite (V) ; à mesure que u augmente, le point 3' s'éloigne sur la demi-droite (V).

La demi-droite ("V'j est confondue avec l'axe positif pour v = o, avec l'axe négatif pour v = n on pour v = — n ; l'image de l'axe réel du plan des x est l'axe positif du plan des y. Les deux parallèles (P), (P,) ont toutes deux pour image l'axe négatif du plan des y. Quand v croît de — n à 71, la demi-droite (V), d'abord confondue avec l'axe négatif du plan des y tourne dans le sens direct et vient pour v = n se confondre à nouveau avec l'axe négatif. Lorsque u reste fixe et que v croît de — - n à -+- n, quand le point ce décrit un segment (U), parallèle à l'axe des ordonnées, allant d'un point delà droite (P,) à un point de la droite P), son image décrit un cercle (U) dont le centre est le point o, dont le rayon est eu ; elle part du point du cercle situé sur l'axe négatif pour y revenir. Les images des deux extrémités de (U) sont confondues.

On voit que l'image de la bande du plan des x recouvre tout le plan des y (sauf le point o). Le demi-plan des y situé au-dessus de l'axe réel est l'image de la demi-bande du plan des x située audessus de l'axe réel ; les coefficients de i des nombres correspon dants x, y sont de même signe ; deux points x symétriques par rapport à l'axe réel (deux points dont les affixes sont imaginaires conjuguées), ont pour images deux points y symétriques par rapport à l'axe réel. Deux points distincts de la bande ont des images distinctes sauf si ces deux points appartiennent respectivement aux droites (P), (P,) et sont situés sur une même perpendiculaire à ces deux droites.

On supprimera cette exception en regardant l'axe négatif du plan des y comme double, comme une coupure à deux bords dont le bord supérieur est l'image de la droite (P) et dont le bord inférieur est l'image de la droite (P,). De cette façon, deux points distincts de la bande du plan des x auront toujours deux images distinctes ; les points de la bande voisins de (P) auront des images voisines de l'axe négatif et au-dessus ; ces images seront regardées comme voisines du bord supérieur de la coupure ; les images des points de la bande voisins de (P,.) seront de même regardées comme voisines du bord inférieur de la coupure.

Dans ces conditions, tout point y du plan des y, autre que le point o sera l'image d'un point x = u H- iv de la bande el d'un seul. Supposons d'abord que le point y ne soit pas sur la coupure (que y ne soit pas un nombre négatif ; ce point y sera l'intcrsec-