CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

don unique d'un cercle (U') et d'une demi droite V ; le cercle (U') sera l'image d'un segment (U) ; la demi droite (V) sera l'image d'une droite (V) ; le segment (U) et la droite (V) se couperont en un point unique x dont y sera l'image ; en se reportant à la construction de (U') et de (V) au moyen de (U) et (Y), on voit que l'abscisse du point x dont y est l'image est le logarithme naturel de la valeur absolue de y et que son ordonnée est la valeur principale de l'argument de y. Si le nombre y est négatif, l'abscisse de x sera le logarithme naturel de — y, son ordonnée sera % ou — x, suivant que y appartiendra au bord supérieur ou inférieur de la coupure. Le nombre x ainsi défini est ce que l'on appelle la valeur principale du logarithme de y ; je la représenterai habituellement par la notation Igj'. La fonction Igy est définie dans tout le plan des y, sauf au point o ; elle se confond avec le logarithme naturel de y quand y est positif. Elle est continue en tout point qui n'appartient pas à la coupure. Si l'on considère un point y0 de la coupure, du bord supérieur, par exemple, on peut dire encore que la fonction lg y est continue en ce point, si on l'entend dans le sens suivant : à chaque nombre positif s correspond un nombre positif Y) tel que l'on ait | lg y — lgj0 | < s, si l'on a | y — y0 | < Y) et si le point y est au-dessus de l'axe réel négatif, ou sur cet axe, mais sur le. bord supérieur de la coupure. En deux points confondus en réalité, mais situés l'un sur le bord supérieur, l'autre sur le bord inférieur de la coupure, la différence des deux valeurs de la fonction lg}' est 2izi.

367. — Il ne sera pas inutile d'indiquer, sur ce même exemple simple, un autre mode de raisonnement qui est souvent commode pour la définition des fonctions inverses.

Reprenons l'étude de la correspondance entre les deux plans des x et des y définie par l'équation y = eT et considérons dans le plan des x le rectangle ABA/B' ; les deux côtés AB, A'B' sont des parallèles à l'axe réel, à une distance tï de cet axe ; ils sont des segments des droites qui étaient désignées clans la figure précédente par (Pi)t (P)- Quant aux côtés AA', BB' parallèles à l'axe imaginaire je les suppose très éloignés, à des distances a, b cpie je me réserve de faire grandir indéfiniment.

Les points A, A' du plan des x ont des images confondues en

TaNNery 11. — Introduction à la Théorie des fonctions 23

A,, Aj dans le plan des y sut l'axe négatif, très près du point o ; la droite AA' a pour image un petit cercle de centre o, passant par les points confondus A1? A[. Les points B, B' du plan des x ont des images confondues en un point très éloigné Bj ou B^ du plan des y, sur l'axe négatif de ce plan ; la droite BB' a pour image le cercle de centre o et de très grand rayon qui passe par le point Bt ou B[ ; les côtés AB, A'B' ont leurs images confondues en AjB^ AjBj. La fonction ex est régulière en tout point qui appartient au recfeanole.

Kl

Fig. ho.

Si le point x décrit le rectangle dans le sens direct ABB'A'A, le point y = ex du plan des y décrit le lien fermé (F) que l'on obtient en partant du point A1? décrivant la droite AjBj, puis le grand cercle dans le sens direct, puis la droite BJA,, puis le petit cercle dans le sens indirect de manière à revenir au point Aj. Ce lien fermé est la frontière du continuum (C) que l'on obtient en supprimant tous les points situés sur le segment A,Bj de l'ensemble des points intérieurs au grand cercle et extérieurs au petit.

Lorsque le point x décrit le contour ABB'A'A, que le point e* du plan des y décrit le lien fermé, comme on vient de l'expliquer, le vecteur qui va du point y0 au point t>r tourne d'un angle égal à