CHAPITRE Vil. INTÉGRALES DÉFÎMES

Les inégalités (i) donnent lieu à la remarque suivante : si la fonction © (x) n'est pas continue pour la valeur x = a0 qui. clans l'énoncé du théorème comme dans la démonstration, est supposée plus petite que a, cette fonction, lorsque le nombre x tend vers a& par des valeurs décroissantes, tend vers une limite, puisque, dans ces conditions, elle ne décroît jamais et reste toujours inférieure ou égale à o(a0 ; désignons, en adoptant une notation employée par Lejeune Dirichlet, cette limite par © (a0 H- o) ; si la fonction ©(as) était continue pour x = a0, le symbole © ; a0 H- o) ne représenterait pas autre chose que © (a0)- Dans tous les cas, la valeur de l'intégrale

f(x) o (x)dx

ne serait pas modifiée, si l'on remplaçait la fonction © [x] par une Jonction $(cc) égale à © (a0 -t- o) pour x = a0, et à © \x: pour toutes les autres valeurs de x appartenant à l'intervalle (a0, a) ; d'ailleurs la fonction O (se) jouirait des propriétés requises pour l'application du théorème ; on peut donc substituer aux inégalités fi) les suivantes, où les nombres A0 et À conservent les mêmes significations :

(2) A0<? (a0 -h o) < I f{x)v(x)dx <j A<?(a0 -h o).

Enfin, la fonction de x,

f(x) dx,

devant prendre n'importe quelle valeur B appartenant à l'intervalle (A0, A) pour une valeur £ de x. appartenant à l'intervalle (a0, a), les inégalités précédentes peuvent être remplacées par l'égalité

(3) I f(x) <p (x) dx = <p (a0 + o) I f(x)dx,

'£, étant un nombre dont on sait seulement qu'il appartient à l'intervalle (a0, a).

Weierstrass a transformé ce dernier énoncé de manière à obtenir une proposition applicable à une fonction ©(se) qui, dans l'intervalle (a0, a), est ou non-croissante, ou non-décroissante.

Supposons qu'on soit dans le premier cas, la fonction

où ©(a — o) désigne la limite vers laquelle tend l'expression © (ce), lorsque x tend vers a par des valeurs croissantes, sera non-croissante dans l'intervalle (a0, a) et ne sera négative pour aucune valeur de x appartenant à cet intervalle ; on pourra donc lui appliquer le théorème qu'exprime l'égalité (3) et l'on aura ainsi

f(x) [<?(x) — ?(« — o)]clx = [<p(a0 4- o) — cp(a — o)] J f(x)dx,

(4) I f{x) e (x) dx = <p (a0 H- o) l f(x) dx -h f{a — o) j f(x) dx ;

J a0 Ja0 J \

| désigne toujours un nombre appartenant à l'intervalle (aD, a). C'est l'égalité que j'avais en vue ; elle subsisterait, si dans l'intervalle (ao, a) la fonction o (x) était non-décroissante ; on le verra