B' XI

où l'angle (XI1? XK) est compris entre ix et — n, positif ou négatif suivant que X est à droite ou à gauche de l'axe imaginaire ; en

d'autres termes, suivant que la partie réelle de x est positive ou négative.

Le coefficient de i est positif ou négatif suivant que le point X est au-dessus ou au-dessous de l'axe réel; en d'autres termes, suivant que le coefficient de i dans x est positif ou négatif. Quand x est réel, le coefficient de i est nul, la moitié de l'angle (XI, XR) est égal à l'angle (10, IX) dont la tangente est x ; on peut donc poser alors

arc te x = —. . le = ,

en convenant, comme on a fait au n° 199 de regarder arc tg x comme compris entre et -. On peut adopter l'égalité précé-

Fig. 45.

dente comme définissant arc tg x pour toutes les valeurs de x autres que / et — i. La partie réelle de la fonction arc tg x est

alors toujours comprise entre — - et - ; elle atteint respectivement ces valeurs quand le point x est sur le bord gauche, ou sur le bord

droit, d'une coupure. Quand x est purement imaginaire sans être

ce sur une coupure, c'est-à-dire quand le nombre réel • est compris

entre — i et i, arc tg x est purement. imaginaire. La fonction arc tg x est impaire.

Il n'y a aucune difficulté à définir par continuité, sur un lien qui ne passe par aucun des points i et — i, ou dans un domaine simple qui ne contient aucun de ces deux points, une fonction