IX II — I — O

(') De même si l'on voulait définir la fonction Arc tg x dans un domaine simple qui ne contiendrait aucun point des coupures.

Considérons en particulier la fonction

y = - 1g (ix -h y/i — x2),

en adoptant pour y/i — x- la même détermination qu'au n° 341 ; celle pour laquelle la partie réelle est positive. Je rappelle qu'on a dû introduire deux coupures sur l'axe réel ; l'une allant de i à -4- ce ; l'autre de — i à — go . Lorsque x est sur une des coupures ,

y/i — x2 = ± i\\Zx2 — i|

est imaginaire ; les signes placés près des coupures indiquent quel signe on doit prendre suivant qu'on est sur un bord ou sur un autre; lorsque x est sur l'une des coupures, ix H- \'\ — x2 est purement imaginaire, ainsi que l'autre racine ix — \J i . — x2 de l'équation en u : inversement, l'une ou l'autre de ces deux racines ne peut être purement imaginaire que si x est situé sur l'une ou l'autre de ces deux coupures ; en effet, de l'équation en u on tire

et l'on voit immédiatement que x est réel et plus grand que i en valeur absolue si on suppose u purement imaginaire.

Par conséquent, dans le continuum obtenu en supprimant du plan les points qui appartiennent aux deux coupures, les parties réelles de ix -+- \/i — x2, ix — /i — x2 ne s'annulent pas; elles gardent le même signe; la première est toujours positive, comme on le voit en prenant x = o ; la seconde est toujours négative. En supposant que x, n'appartienne à aucune coupure, on peut

prendre l'argument de ix -+- \/i — x2 entre — et + -, l'argu-

ment de — ix H- i/i — x2 entre et — . v 2 2

Si donc x n'appartient pas à l'une des coupures

-.- lg {ix -t- \/i — x2)

aura sa partie réelle comprise entre — - et ; cette dernière condition et l'équation sin y = x suffisent à définir le nombre v,