CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

puisque la partie réelle de ■ log (ix — \/i — x*) n'est jamais comprise entre — - et - , quelle que soit soit la détermination adoptée pour le logarithme. D'aileurs, lorsque x est réel, compris entre — i et i, la fonction - \g (ix -h \/i — x2) est la fonction arc sin a;

Fig- 47.

du n° 199 : en effet, si on pose x = sin 9, ç étant compris entre

— - et -, cos <p est positif et par conséquent égal au nombre positif /i — x'2 ; on a alors

ix — t- V^i — x'2 = cos 9 -+- i sin cp ;

par conséquent la valeur absolue du premier membre est 1 et son argument principal est 5 : on a bien

~ 1g (ix -+- v/i — a;2) = cp.

D'après cela, je prendrai la fonction • 1g (ix H- \U — x-) comme la définition de arc sin x.

D'ailleurs en se reportant aux diverses valeurs du logarithme et en se rappelant que le produit des deux racines de l'équation en 11 est — 1 , on voit que toutes les valeurs de y sont données par les formules

2 7î~ -+- arc sin x, (211 -h 1)71 — arc sin x

où 11 est un entier quelconque.

Le schéma ci-dessous donne la valeur de la fonction arc sin x sur les différents bord des coupures

— - — i la ( — x — \/aT2 — 1) - — l lg (x — \/as2 — 0 2 , , 2

— — \- i lg ( — x — \/x2 — 1) — |- i lg (x — \'x- — 1)

En deux points confondus de la coupure de droite, mais appartenant à des bords opposés, la somme des valeurs de la fonction

ainsi définie est 7t ; la somme analogue, pour l'autre coupure, est

Ici encore, il sera facile de définir par continuité, le long d'un lien ne passant par aucun des points i et — i, une fonction Arc sin x vérifiant pour toutes les valeurs de x l'égalité

sin (Arc sin x) = x.

Si l'on suppose le lien défini pour les valeurs de la variable réelle i qui appartiennent à l'intervalle (t0, /,) et si l'on a à l'origine xQ du lien

/Vrc sin xQ = arc sin x0,

l'égalité entre les fonctions Arc sin x et arc sin x subsistera tant qu'on n'aura pas atteint une coupure ; si l'on atteint et si l'on tra-

Fig 48.

verse une première fois, pour / = 9, l'une des coupures, on aura pour les valeurs de t un peu plus grandes que 0

Arc sin x = ± -x — arc sin x,

suivant que l'on traverse la coupure de droite ou la coupure de gauche ; l'égalité subsistera tant qu'on n'aura pas atteint une coupure, etc.

Supposons, par exemple, crue le point x se meuve, dans le sens direct, à partir du point x0, sur un cercle décrit du point o comme centre avec un rayon plus grand que i et traversant les coupures de droite et de gauche aux points a, & ; supposons que le point x0 soit au-dessus de l'axe réel et que les deux fonctions Arc sin or, arc sin a? soient égales en ce point ; elles resteront égales sur l'arc qui va de x0 à fi ; quand on aura dépassé 8, on aura

Arc sin x = — - — arc sin x.