En posant

on a établi (n° 263\ pour les valeurs réelles de x, les formules 00 rJx)=XeCXf{x)

(3) BinTca; = ira:/(aO /(—*)== ras J| |^i -h ^ e~«J

(4) T{x+i)=xT(x), T(x) r(i - x) = -r-

sin tlX

Je rappelle que C désigne la constante d'Euler et que l'accent

dont est affecté le symbole J veut dire que n doit prendre toutes

■ {n) les valeurs entières, positives ou négatives, à l'exclusion de la

valeur 0.

On a montré aussi que, si l'on pose

(1 + ^J e n =l +nB(aî),

si l'on désigne par \]n(x) la majorante naturelle de la fonction

/ x 1 x2 / 1 1 \ xs

UJx) = — 5- -h o -à- + ... ,

v ' 1.2 n- \1.2 1.2.0/ IV

et par A un nombre positif quelconque, la série à termes positifs

Bi(A) -+- u,(A) 4- ... H- b»(A) -f- ... est convergente.

Il suit de là que les seconds membres des formules (i), (2), (3) sont des fonctions (transcendantes) entières en x, et qu'on peut leur appliquer la règle du n° 354 pour prendre la dérivée d'un produit infini.

La formule .'2 , établie par les valeurs réelles de x, peut être prise comme la définition de la fonction Y (x) pour toutes les valeurs de x, autres que o, — 1, — 2, ... . La formule (3) est certainement vraie pour toutes les valeurs de x; car les trois membres peuvent être mis sous forme de séries entières en x, convergentes quel que soit x, et ces séries sont identiques puisque leurs valeurs respectives sont égales lorsque x est réel. Les formules (4) résultent sans peine des formules (2) et (3) ; elles subsistent donc pour les valeurs imaginaires.

En prenant les dérivées d'après les règles du n° 354 et en posant

on obtient

ïl=00

(5) 9{x)= y r— - — -ii

(7) - cot «* = I + <? (x) - ? ( X) = I + 2' (—^ - £

Dans la dernière formule l'accent dont est affecté le symbole 2,

veut dire que 72 doit prendre toutes les valeurs entières positives ou

négatives, mais non la valeur o ; elle ne diffère que par la forme de la relation

7T cot 7CX =

comme on le voit en réunissant les termes qui correspondent à des valeurs symétriques de n.

La convergence des séries qui figurent aux derniers membres des égalités 5), (7 résulte de la façon même dont elles ont été obtenues, mais il ne sera pas inutile de reconnaître, sur les séries