CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

elles-mêmes, et la convergence de ces séries et le caractère des fonctions qu'elles définissent.

Je raisonnerai, par exemple, sur le second membre de l'égalité (7

On a vu n° 343) que, des deux fonctions

x -+- n n ' n' (il' — x)

où n' = | n [ , la seconde était la majorante naturelle de la première, en supposant | x | <C n'. Fixons un nombre positif quelconque À, et un nombre naturel r > A; ne considérons que les valeurs de x qui satisfont à la condition | x j < A et, dans le second membre de l'égalité (7), négligeons la fonction rationnelle S,, (as) somme des termes pour lesquels on a | n | <C r, pour ne nous attacher qu'à la somme 2r(x) des autres termes. Remplaçons dans 2,. (x) chaque terme par sa majorante naturelle et x par À; on obtiendra la série à termes positifs

n = ce

qui est manifestement convergente comme la série > l., . Le

coefficient 2 provient de ce qu'on a réuni les termes provenant de 2r(x) qui correspondent à des valeurs symétriques de n. On voit donc que, pour les valeurs considérées de x, la série 2i, x satisfait aux conditions du n° 349 ; elle est absolument et uniformément convergente ; elle est développable en une série entière en ce; ce développement est valable pourvu que l'on ait | x | <0"> puisque le nombre positif A peut être supposé aussi voisin de r qu'on voudra. Ainsi, en particulier, la fonction

1Z COt T.X

peut être développée en une série entière en x convergente sous la condition | x ] <C 1. La fonction 2r(x) est régulière pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition | x | <C /' ; ses dérivées s'obtiennent en prenant les dérivées des termes de 2r(as), etc.. La fonction rationnelle S» (as), qu'il faut ajouter à lr(x) pour avoir

Tannery II. — Introduction à la Théorie îles fonctions 24

le second membre de (7;, admet pour pôles, les points

o, ± 1, ± 2, ... dz (r — 1) ;

chacun de ces pôles est simple et le résidu correspondant est 1 ; en se rappelant que le nombre A peut être pris aussi grand qu'on le veut, on aperçoit immédiatement les propriétés suivantes de la fonction

elle est partout régulière, sauf aux points dont l'affixe est un nombre entier (*) ; chaque nombre entier est un pôle simple et le résidu correspondant est 1 ; les dérivées de la fonction sont

(n) x ' lB)

dans ces séries, n doit prendre toutes les valeurs entières, sans exclure o.

De ce qui précède on déduit en particulier les égalités

[) dx]T{x)\ . Ad (x-hny

\v) c :„2 ,,„. Zj (m L „\2

On voit combien, en raison même de la manière dont converge la série qui y figure, le second membre de l'égalité (7 est avantageux pour représenter la fonction cot %x, combien, en particulier. il est plus avantageux que l'expression

Inn. > p = x Ad x + n

(') Cette propriété suffit à prouver que l'égalité (7), une fois établie pour les valeurs réelles de x, subsiste pour les valeurs imaginaires, puisque la l'onction col-.'-, quotient de deux séries entières de x, est régulière pour toute valeur de x qui n'annule pas le fléiïominatcuT senrar.