I II I I

Si l'on se donne la valeur de x (non entière), la somme des termes qui forment la première ligne du second membre est très voisine de cot tîx, pourvu que p et q soient suffisamment grands; quant aux termes qui figurent dans la seconde ligne la somme (n° 194 ; diffère très peu de

(C -4- log p) - (C 4- log q) = log | ;

on peut donc écrire, en désignant par s une quantité qui tend vers o quand p et q augmentent indéfiniment.

V — ='it cot "x -h log '- -+- £ ;

Au x -\- n ° q

on peut évidemment faire grandir p et q de manière que le second membre s'approche d'une limite dont la différence avec n cot nx soit tel nombre réel que l'on voudra. Lorsque p et q grandissent indéfiniment, le coefficient de i dans le premier membre tend vers une limite, mais non la partie réelle.

En changeant dans les formules (3) et (7) x en ix on trouve

ch*x=*xi[[ r/I+^e-?l

n = oc

cc2\ n2)

ch

■KX

TZX

sh

ni

ni

La dernière formule, en y changeant a? en — , devient, après des transformations faciles,

a? 2 ^W \X 2«TTl 2/lTCf/

a? 2 ^ x2 -+- n2Ti2

Puisque le second membre de l'égalité (7) est développable en série entière en x, convergente sous la condition | x | <C 1, les sommes

qui figurent dans les expressions de -^-3- — sont développables en

C'est un résultat qu'on a annoncé et utilisé au n° 265, où l'on avait écrit

x Bj „ B2 , .... B„ ,

-xf -+-... + (— 1V+1 l- — x-i'-h...:

En appliquant au second membre de la formule (12) la règle donnée plus haut pour le développement en série entière en x du second membre de la formule (7), on trouve sans peine