CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

en posant

je rappelle que les nombres Bp (nombres de Bernoulli) sont rationnels et qu'on a donné au n° 265 les valeurs des premiers de ces nombres.

Signalons le développement suivant, bien aisé à déduire de ce qui précède

tgx = aja« - 1) + a'(a*-i) B 2

374. — Les formules étudiées dans le précédent numéro mettent en évidence certaines propriétés des fonctions qui y figurent ; on a vu par exemple avec quelle facilité on reconnaît que la fonction

! + y'r J__il

V j*Mm \X -+- 71 71 J

est régulière en tout point autre que les points Oi±, i±2,..., qu'elle admet tous ces points pour pôles simples, et que les résidus correspondants sont tous égaux à 1. Il est dès lors bien naturel de se poser la question suivante : construire une fonction F [x) qui soit régulière en tout point du plan, sauf en certains pôles, pour chacun desquels on se donne la partie principale : ainsi, si a est un des pôles de la fonction cherchée F (as), on se donne une expression de la forme

Ai x — a

où a est un nombre naturel et A , Aa I,..., Ai des constantes qui ne sont pas toutes nulles, telle que la différence (') entre F [x) et l'expression considérée puisse être développée en une série entière

(') Il est à jîeine utile de dire que la valeur attribuée à cette différence pour x — a doit être regardée comme une valeur limite.

en x — a, convergente pouvu que la valeur absolue de a? — a soit suffisamment petite.

On désigne sous le nom de fonction méromorphe de x une fonction qui est régulière partout sauf en certains pôles. Un point quelconque du plan est un point où la fonction est régulière ou un pôle (').

Les fonctions méromorphes sont la généralisation des fonctions rationnelles comme les fonctions entières sont la généralisation des polynômes. Le quotient de deux fonctions entières est une fonction méromophe ; on démontre inversement que toute fonction miromorphe est le quotient de deux fonctions entières.

Le problème posé, dont je me bornerai d'ailleurs à traiter quelques cas particuliers, consiste donc à construire une fonction miromorphe connaissant ses pôles et les parties principales correspondantes.

Supposons d'abord que les pôles soient en nombre fini ; et désignons les par ai} a2,..., an\ soit/* (a?) la partie principale de la fonction relative au pôle a%\ je rappelle que fi [x) est un polynôme

donné en ; la somme /! (x) -h f2 (x) -f- ... + fn (x) répond

évidemment à la question posée ; elle est régulière en tout point qui n'est pas un pôle comme somme de fonctions régulières; et, pour la même raison, sa différence avec la fonction f [x), par exemple, c'est-à-dire f {x) -\-f(x) -+- ... -+-fn{x), est régulière au

lue iuuic luiiL/iiuii x. yj.

qui jouit de ces propriétés est de la forme

point a4. On reconnaît immédiatement que toute fonction F (x)

en désignant par g (x) une fonction régulière en tout point du plan. Toute fonction entière, transcendante ou non, est régulière en tout point du plan ; on verra plus tard que les fonctions entières sont seules à jouir de cette propriété.

(') J'adopte la signification que M. Borcl donne au mot méromorphe. (Yoir, par exemple ses Leçons sur les fondions méromorphes). Quelques auteurs disent d'une fonction qu'elle est méromorphe dans un domaine simple, par exemple, pour dire qu'un point de ce domaine est un point où la fonction est régulière, ou un pôle.