CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES 3y

Considérons maintenant le cas où l'ensemble des pôles est infini. Je dis d'abord que cet ensemble ne peut admettre de point d'accumulation ; supposons en effet que b soit un tel point d'accumulation et désignons toujours par F (se) une fonction qui réponde à la question posée : aussi près de b qu'on voudra, il y a des pôles et par conséquent des points où ] F (se) | dépasse telle borne que l'on voudra ; F (se) ne peut donc être régulière en b. Le point b ne peut pas non plus être un pôle ; s'il était un pôle en effet, à ce pôle correspondrait une partie principale f (se) : or la différence F se) — ose) qui admet évidemment pour pôles tous les pôles de F (se), sauf b, qui admet donc des pôles aussi voisins de b qu'on le veut, ne peut être régulière en b. Ces conclusions sont incompatibles avec la supposition faite sur la fonction F (se,, laquelle doit être régulière en tout point qui n'est pas un pôle, l'ensemble des pôles n'admet pas de points d'accumulation, le nombre des pôles moindres en valeur absolue qu'un nombre positif donné P est fini ; ces pôles peuvent être rangés clans un ordre tel que les valeurs absolues aillent en croissant ou plutôt ne décroissent jamais. En faisant croître P indéfiniment, on voit que l'ensemble des pôles est dénombrable et que ces pôles peuvent être rangés dans un ordre ai, a-i, ..., an, ... tels, que l'on ait

hi+i | ^

lim. a,

C'est ce que je supposerai dans tout le présent numéro.

Continuons à désigner par fn(x) la partie principale de la l'onction cherchée F (se) qui correspond au pôle a„.

Il est naturel de considérer la série

supposons non seulement qu'elle soit convergente, mais qu'elle satisfasse à la condition suivante : Quel que soit le nombre positif A, si n est un nombre naturel tel que an et, par conséquent, <Vl i, an+2, ... soient supérieurs à A, la série

<2) fn{x) -hfn

dont tous les termes sont manifestement développables en séries entières en x, convergentes pour | se | 5= A, satisfait aux conditions du n° 349.

S'il en est ainsi, la somme F (as) de la série (1) se décompose en deux parties : d'une part, la somme des n — 1 premiers termes, qui est une fonction rationnelle, d'autre part la somme de la série (2) qui, dans le domaine | as | < A, est absolument et uniformément convergente et peut être mise sous forme d'une série entière en as uniformément convergente dans ce même domaine. En tout point de ce domaine autre que les points a15 at, ..., an v la somme de la série (1) est régulière comme somme de fonctions régulières ; aux environs du pôle ar(r << n), la différence F (x) — fr(x) sera manifestement régulière. Gomme le nombre A peut être pris aussi grand qu'on veut, il est clair que la fonction F (as) satisfait aux conditions imposées ; il en sera de même de toute fonction obtenue en ajoutant à F (as) une fonction entière transcendante ou non ; réciproquement la différence entre une fonction qui satisfait aux conditions imposées et F (as) devant être régulière en tout point est, en vertu d'une proposition énoncée plus haut, une fonction entière, transcendante ou non.

Il est à peine utile de dire que la série ( 1) est absolument et uniformément convergente dans tout domaine simple qui ne contient aucun des points a{, «.,, ..., an, ...

Supposons par exemple qu'on veuille construire une fonction régulière partout sauf aux pôles o, 1, 2, ..., n, ... et telle que sa