CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES O

dire qu'à chaque nombre positif A correspond un nombre naturel n tel que l'on ait | an | > A et que la série

on(x) + mn+i(x) H- ...

satisfasse pour a:<A aux conditions du n° 349.

Qu'il soit toujours possible de déterminer les polynômes àn(x) de façon qu'il en soit ainsi, c'est une proposition (*) comprise dans une suite de théorèmes généraux que l'on doit à M. Mittag-Leffler ; je l'établirai tout à l'heure dans un cas très particulier, mais je veux faire remarquer qu'il est clair, si l'on admet cette proposition, que la série (©) est absolument et uniformément convergente dans tout domaine simple qui ne contient pas de pôle, que sa somme <P(x) satisfait bien aux conditions imposées pour ce qui est de la régularité, des pôles et des parties principales correspondantes, enfin que la dérivée de cette fonction, aux points où elle est régulière, est la somme de la série dont les termes sont les dérivées (p\ (x), ®'2(x), ... des termes de la série [p\ . Ce dernier point résulte de ce que 0 est, en conservant les notations précédentes, la somme d'une fonction rationnelle et de la série

on{x) -+- <Dn+i{x) H- ...

qui, pour x <[ A satisfait aux conditions du n° 349.

J'arrive maintenant à la démonstration du cas particulier que j'ai en vue.

Je suppose d'abord que o ne soit pas un pôle : cela ne diminue en rien la généralité. Si o, en effet, est un pôle de la fonction cherchée, il suffira, après avoir supprimé ce pôle et après avoir construit la fonction qui admet les autres pôles et les parties principales correspondantes, d'ajouter à cette fonction la partie principale qui correspond au pôle o.

Soient donc alt a.,, ..., an, ... les pôles donnés, dont aucun n'est nul ; je suppose que ces pôles soient tous simples ; soit, en général, B„ le résidu relatif au pôle an ; soient an, B7', les valeurs

(') La démonstration de cette proposition et même d'une proposition un peu plus générale est reproduite p. 128 du Tome I des Eléments de la théorie des fonctions elliptiques de MM. Tannery et Molk.

absolues de an, B„ ; je suppose enfin que la série à termes positifs Bi . J5 , , K

où r désigne un nombre entier positif ou nul, soit convergente. Lorsque l'on se donne les nombres an, Bn, il n'est pas toujours possible de trouver un nombre r tel que la convergence ait lieu ; mais le cas où cela est possible est particulièrement intéressant en raison de la simplicité des résultats.

Quoiqu'il en soit, sous le bénéfice de ces suppositions, on prendra pour le polynôme 'hn[x) qu'on doit retrancher de la partie

principale — ~ — relative au pôle an les r premiers termes du développement de cette partie principale suivant les puissances ascendantes de x, c'est à savoir

,|, trp\ ■ ■ " n ll •

an a La série cherchée sera

en posant

?n(aO =

Bn B„ H„x

et,, un Cln

'ïn (»)

Cln (x — an)

et il est bien aisé de voir cjue cette série jouit des propriétés annoncées. Soit en effet A un nombre positif quelconque ; soit n un nombre naturel tel que a"n et, par suite, arn+l, a'll+î, ... soient plus grands que A ; pour | x | < A, la série

>(» -h ?»+iW H- •••

satisfait aux conditions du n° 349 ; en effet, les fonctions On ■>: , ®n+i(x), ... sont développables en séries entières en x, dont les majorantes naturelles sont

Kxr BUi^! , ...

et la série à termes positifs

jb;,a> b;1+1a<-

an(a'n — A) a;,. ,{n!n , — A)