CHAPITRE XI. FOXCTIOXS DE VARIABLES IMAGINAIRES OJQ

dont les termes s'obtiennent en remplaçant x par A dans ces majorantes naturelles est convergente comme la série

Supposons, par exemple, qu'on veuille construire une fonction holomorphe, dont les pôles, tous simples, soient les nombres entiers négatifs, nuls ou positifs, le résidu de chaque pôle étant i ;

la partie principale relative au pôle n sera . On commencera

par exclure le pôle o, sauf à ajouter - à la fonction trouvée.

Les pôles rangés de façon crue leurs valeurs absolues aillent en croissant sont alors i, — i, 2, — 2, ..., n, — n, ... ; d'ailleurs la série

est convergente ; on peut donc prendre r = 1 ; la fonction cherchée, après qu'on aura ajouté le terme - , sera

-4-7, h ~ = ~ cot -x.

x ~* tx — n nj

La fonction ainsi construite et toutes celles qu'on obtient en lui ajoutant une fonction entière en x répondent à la question.

Je me contente de signaler une autre application du même procédé.

Soient 03, 00' deux nombres dont on suppose seulement que le rapport ne soit pas réel. Considérons l'ensemble des points dont l'affixe est de la forme s= 2jdw 4- 2p'&)' en désignant par jD,p' des nombres entiers positifs, nuls ou négatifs ; il est aisé de voir qu'à deux systèmes (p, p'), (p\> p'i) pour lesquels on n'a pas 7^ =p, p\ =/>' correspondent deux points s, Si distincts et que tous les points s forment les nœuds d'un réseau de parallélogrammes égaux qui recouvrent tout le plan. On propose de construire une fonction partout régulière sauf aux points s, qui doivent être des pôles simples, avec un résidu égal à r.

38g introduction a la théorie des fonctions

On établit d'abord que la série à termes positifs

~sr\ W

où s doit prendre toutes les valeurs de la forme 2/>w -h 2//W sauf

la valeur o, qui correspond à p = o, p' = o, est convergente, en

sorte qu'on peut prendre r = i ; finalement on reconnaît que la

fonction

v ' x ^ La? — s s szA

répond à la question posée.

Dans le cas général, c'est d'ailleurs d'une façon analogue que l'on procède; si fn(x) est la partie principale prescrite pour le pôle an, le polynôme 'J,'„ (se) qu'on en retranche s'obtient encore en prenant les premiers termes du développement de fn{x) en une série entière en x, développement valable pour | x | <C | an |.

375. — De môme qu'on peut construire une fonction holomorphe dont on donne les pôles et les parties principales correspondantes, on peut construire une fonction entière pour laquelle on donne les racines et les degrés de multiplicité de ces racines.

Lorsque ces racines sont en nombre fini, on a tout de suite une solution en formant un polynôme qui admette chacune de ces racines avec le degré voulu de multiplicité et qui n'admette point d'autre racine; on peut ensuite multiplier ce polynôme par une fonction entière qui ne s'annule pas.

L'ensemble des racines distinctes, s'il est infini, ne peut avoir de point d'accumulation : autrement, en effet, la fonction entière serait identiquement nulle; cet ensemble est donc dénombrable et peut être représenté par une suite ai, a2, ..., an, ... pour laquelle on a

lim.

D'un autre côté l'ordre de multiplicité de chaque racine est un nombre entier déterminé; rien n'empêche de supposer, tout en conservant les deux conditions précédentes, que, dans la suite alt as, ..., a„, ... chaque racine figure autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité. Laissons de côté, s'il y en a, les