CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES 38l

racines nulles : on peut, toujours en tenir compte, quand on a construit une fonction entière qui admet les autres racines, en multipliant cette fonction par une puissance de x.

Weierstrass a montré qu'on pouvait faire correspondre à chaque racine an de la suite précédente un nombre naturel r« et un polynôme

an 2 a; rna~

tels que le produit infini

fût convergent. Ce produit satisfait même, pour toutes les valeurs de x, aux conditions du n° 349 f1). Si on admet qu'il en soit ainsi, il est clair que ce produit répond à la question posée : c'est une fonction entière admettant pour racines les racines données, chacune avec son degré de multiplicité et n'en admettant pas d'autre. Ce théorème de Weierstrass a été le point de départ d'un grand nombre de recherches, en particulier de celles de M. Mittag- Lelïler auxquelles on a fait allusion un peu plus haut : au reste, la construction d'une fonction entière dont on se donne les racines avec leur ordre de multiplicité et la construction d'une fonction méromorphe pour laquelle on se donne les pôles et les résidus correspondants sont deux problèmes connexes; en effet si a est un zéro de la fonction entière cherchée, avec l'ordre de multiplicité a,

on

tirera de 1'

égalité

la

suivante

<p(ar) '

qui montre que la dérivée logarithmique de la fonction f(x) admet le point a comme pôle simple, et que le résidu correspondant esta. On conclut de là immédiatement que la dérivée logarithmique de

(') Voir, par exemple, les Eléments de la Théorie des fonctions elleptiques de MM. Tannery et Molk, t. I, p. ii4i.

la fonction entière cherchée est une fonction méromorphe dont les pôles sont les racines de la fonction cherchée, chacun de ces pôles étant simple et le résidu correspondant étant le degré de multiplicité de la racine. Si l'on construit une telle fonction méromorphe de la façon qu'on a expliquée antérieurement, les règles d'intégration, qu'on étudiera bientôt, conduisent au produit infini qu'on a décrit un peu plus haut (i).

Pour ce qui est de la démonstration directe du théorème de Weierstrass, je me bornerai à quelques indications sur le cas où toutes les racines données a,, a±, ..., an, ... sont simples et où il existe un nombre entier positif ou nul 7' tel que la série à termes positifs

ii i

ap^ + â['+T + "• + <+ï + ■-;»

dans laquelle on suppose a'n = j an |, est convergente. Tout. d'abord si r est nul, il est clair que le produit infini

répond à la question. Supposons maintenant r positif, on prendra pour le polynôme P» correspondant à la racine an,

Pre = — H- - -,-+...+ - —/, an 2 a- r an

afin d'établir la convergence du produit infini dont le nième facteur est

x\ P anJ

il est commode de remarquer que la fonction entière

peut se mettre sous la forme

ew

(') On peut voir à ce sujet les Leçons sur les fondions méromorphes, de M. Borel, p. i/j.