CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

où 9 (oc) est une série entière en x dont les coefficients sont positifs et plus petits que i. C'est ce que l'on reconnaît sans peine en remarquant que la fonction y vérifie l'équation différentielle

yxr = o

qui, si l'on pose

a. a.* , an y = i x - x- -h ... xn — . . . ,

fournit, pour la détermination , des coefficients olx , a2, ... les relations

de ces relations on conclut par induction que les coefficients, à partir de a,,+1, restent égaux ou vont en diminuant, sont positifs et inférieurs ou égaux à i. D'après cela, si la valeur absolue x' de x est

inférieure à i, on peut prendre la fonction ~~ Pour majorante de

la série 9 (x). Si donc on désigne par A un nombre positif quelconque, si l'on ne considère que les valeurs de x pour lesquelles on a x' <^ A, si n est un nombre naturel tel que a'n, et par conséquent a'm en supposant m > n, soit plus grand que A, on pourra écrire

x\ p I ^ x'r+i ^ Ar+i

a'm « — «0 «m «, — A) Laissons de côté les n — 1 premiers facteurs du produit infini

[(■-^no -3 *]•■■■

qui forment évidemment une fonction entière; pour les valeurs de x considérées, le produit infini formé par les facteurs suivants satisfait aux conditions du n° 349, à cause de la convergence de la série à termes positifs