A''+' AH

La réintroduction des n — i premiers facteurs ne change rien au caractère du produit infini considéré qui, pour les valeurs de x

satisfaisant à la condition | X'\ <^. A, est absolument et uniformément convergent et peut être mis sous forme d'une série entière en x; puisque A peut être pris aussi grand qu'on le veut, ce produit infini est bien, comme on l'avait annoncé, une fonction (transcendante) entière en x. La dérivée logarithmique est la fonction méromorphe

^ r i xx2 xr~\

qui admet pour pôles simples les points at, a2,..., avec le résidu i. Les produits infinis qui représentent les fonctions T(x), sin %x, ont été construits par la règle qu'on vient d'expliquer, en partant de ce que la série

est convergente.

Signalons encore,- en reprenant les notations expliquées antérieurement le produit infini

'(-) = -Il'[(,-r)'" + *i']-

où s doit prendre toutes les valeurs de la forme 2 pu -h 2 qtù' , sauf la valeur o, et dont la dérivée logarithmique est la fonction Ç(x). La fonction transcendante entière g(x), introduite par Weierstrass, tient un rôle capital dans la théorie des fonctions doublement périodiques.