DERIVEES ET INTEGRALES DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE IMAGINAIRE

ï. -^ DÉRIVÉES

376. — La notion de dérivée d'une fonction d'une variable imaginaire a été présentée de deux points de vue différents ; on a dit (n° 352) d'une fonction F (z) régulière au point r0, c'est-à-dire telle que la fonction F(r0 -+- h) puisse être développée en une série entière en h, convergente pour les valeurs suffisamment petites de [Al, qu'elle admettait des dérivées de tous les ordres et l'on a défini ces dérivées par les coefficients de la série. Au n° 353, on a donné une définition de la dérivée qui a exactement la même forme que la définition de la dérivée pour les fonctions d'une variable réelle. En ce sens, on dit qu'une fonction F (2), définie aux environs du point z0, admet en ce point le nombre F'(z0) pour dérivée si à chaque nombre positif a correspond un nombre positif ^ tel que l'on ait

FU) — F(z„

- F'(zn

sous la condition q .<f \z — r0| < j3. Il ne peut évidemment en être ainsi que si la fonction F (z) est continue au point z0.

C'est surtout à ce dernier point de vue que je me placerai désormais; mais le lecteur n'oubliera pas que, lorsqu'on sait qu'une fonction est régulière en un point, on sait qu'elle a en ce point une dérivée et même des dérivées de tous les ordres ; nous connaissons ainsi déjà un grand nombre de fonctions qui admettent des déri-

Tannkby II. — Introduction à la Théorie des fonctions 25

Yées, et les dérivées de ces fonctions, par exemple les polynômes en z, les fonctions ez, sin z, tg z, etc.

On montrera comme au chapitre YI que, si deux fonctions admettent des dérivées, il en est de même de leur somme, de leur produit, de leur quotient et l'on généralisera sans aucune peine les règles dudit chapitre pour le calcul de ces dérivées. La règle des fonctions de fonctions se généralise aussi immédiatement que sa démonstration. Je ne m'arrêterai pas sur la règle des fonctions composées, pour laquelle je me bornerai à ce qui a été dit, à un autre point de vue, au n° 354. Mais je veux dire quelques mots des fonctions inverses

377. — Soient cp(z), <\>(z) deux fonctions inverses; soient z0, Z0 deux points correspondants, c'est-à-dire deux points pour lesquels on ait à la fois

je suppose, sur les deux fonctions <p(z), ^(Z), qu'elles sont définies aux environs des points z0, Z0 ; qu'elles sont continues en ces points ; que l'on a, pour les valeurs de Z suffisamment voisines de Z0,

Z = <?r>(Zj];

je suppose enfin que la fonction <d(z) admet, pour z = zQ, une dérivée (d'(z0), différente de zéro. Sous ces conditions, on peut affirmer que la fonction d»(Z) admet, pour Z = Z0 une dérivée égale

Considérons en effet le rapport

et posons z = '}(Zj ; pourvu que Z soit suffisamment voisin de Z(1. <|>(Z) ou z, puisque la fonction ip(Z) est continue pour Z = K0, sera aussi voisin qu'on voudra de <|»(Z0) = ~o '■> Z = s^iZ )] sera égal à (p (z) ; le précédent rapport pourra donc s'écrire