CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTÉGRALES

qui est aussi voisin qu'on veut de ,, . pourvu que z soit suffisamment voisin de z0 et, par conséquent, pourvu que Z soit suffisamment voisin de Z0. La proposition énoncée est établie.

On a vu, par exemple, que la fonction log Z peut être définie, et cela d'une infinité de façons, dans tout domaine simple qui ne contient pas le point o ; cette fonction satisfait d'ailleurs à la condition elooz = Z ; elle est l'inverse de la fonction ez : un point quelconque Z intérieur au domaine considéré et le point z== log Z peuvent jouer le rôle des points Z0 et z0 de la théorie précédente ; la dérivée de log Z est donc

Connaissant la dérivée de la fonction log z, le théorème des fonctions de fonction permet d'obtenir les dérivées de

zm -== eml(is- arc te: z = - . los' • ->

arc sin : = . log ( iz -+- v' 1 — zi

qui sont respectivement

Les deux dernières pourraient d'ailleurs se déduire des dérivées de tg z, ou de sin z et de la règle des fonctions inverses.

La signification que l'on doit donner à la dérivée, lorsqu'il y a quelque ambiguïté, est d'ailleurs liée à la signification de la fonction. La fonction z'", par exemple, lorsque m n'est pas entier, peu! se définir ainsi que log z au moyen de l'argument de 2 et, par conséquent, dans un domaine simple ne contenant pas le point o ; on

mzm devra entendre que la dérivée /??:'"1 est égale à —:— , où zm a la

signification adoptée pour la fonction.

Pour ce qui est de arc sin z, je rappelle d'abord que toute fonction Arc sin z, inverse de sin z, peut être définie comme l'une

des déterminations de • log (iz ■+- ^1 — z2) ; la fonction \J\ — ~

doit avoir la même signification que dans la dérivée — . Les

fonctions \/i — z2 et arc sin z ont été définies sans ambiguïté dans un plan où l'on avait pratiqué deux coupures allant, le long de l'axe réel, de i à -+- oc et de — • i à — ■ oo . Dans ce plan, la partie réelle de \/i — z2 doit être positive, qu'il s'agisse de l'expression au moyen de laquelle est définie la fonction arc sin z ou de sa dérivée.

378. — Il convient de faire ici, à propos des coupures relatives à la fonction arc sin z, quelques observations qu'il y aurait d'ailleurs lieu de répéter fréquemment dans des circonstances analogues ; elles sont assez simples pour que j'aie cru devoir me dispenser de détails de démonstration, que le lecteur suppléera aisément.

Soit r0 un point situé sur une coupure, par exemple sur le bord supérieur de la coupure de droite. On est convenu de prendre alors

\/i —zî == — i \fz\ — i , arc sin z0 = '- — i Ig (z0 — \Jz\ — i) ;

en adoptant pour \Jz\ — i la signification arithmétique ; au point ~0, si l'on traverse la coupure, la fonction arc sin z est discontinue ; on n'a donc pas, semble-t-il, à parler de sa dérivée. On peut en parler toutefois et continuer de dire que cette dérivée est égale au nombre

\/i — z* \Vzl — \\

Premièrement, on peut dire que ce nombre est la dérivée, pour 2 7 d'une fonction Arc sin z, définie comme il suit aux environs de z0, par exemple dans le domaine simple dont la frontière est un cercle décrit de z0 comme centre avec un rayon moindre que \z — j| ; là, elle coïncide avec la fonction arc sin z pour les points z qui sont soit sur le bord supérieur de la coupure, soit au-dessus, elle est continue et l'on a sin (Arc sin z) = z.

D'après ce qu'on a dit au n° 372, cette fonction est égale à - __ arc sin z pour les points situés soit sur le bord inférieur de la coupure, soit au-dessous. La dérivée de la fonction Arc sin z ainsi définie est

|v/z2~=~ii' \'i — ia