CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTÉGRALES 38q

suivant que le point z est au-dessus de la coupure, sur la coupure (quel que soit le bord), ou au-dessous de la coupure : elle est continue dans le domaine considéré ; il est à peine utile de rappeler que v/i ■ — z'1 a sa partie réelle positive. Secondement, on peut dire que le nombre

est la dérivée pour z = z0 de arc sin z, en ce sens qu'il est la limite pour z = zQ du rapport

arc sin z — arc sin z„

où ^ ne prend que des valeurs figurées par des points situés soit sur le bord supérieur de la coupure, soit au-dessus.

On est ainsi amené à étendre la notion de dérivée à une fonction F(z) qui ne serait pas entièrement définie aux environs du point z0. J'indique dès à présent cette extension qui facilite quelquefois le langage.

379. — Soit (E) un ensemble de points, soit zQ un point d'accumulation de cet ensemble qui lui appartienne. Supposons que la fonction F (z) soit définie dans l'ensemble (E) ; je ne considérerai que des points z qui appartiennent à (E) ; je dirai que la fonction F (z) admet une dérivée au point z0, dans l'ensemble E), s'il existe un nombre F'( ~0) tel que l'on ait, quelque petit que soit le nombre positif a

- ¥'(zn

pour tous les points z de E qui satisfont à la condition

où j6 désigne un nombre positif, convenablement choisi, d'après «.

La fonction F(z) ne peut évidemment avoir de dérivée dans l'ensemble : E) au point d'accumulation z0, que si elle est continue en ce point.

Si, par exemple, l'ensemble (E) est constitué par un continuum

OQO INTRODUCTION A LA TBTSCHUE DES FONCTIONS

et sa frontière, on saura ce qu'il faut entendre quand on parle d'une fonction WÇz) déterminée dans (E) et admettant une dérivée, dans l'ensemble (E), en tout point de cet ensemble. Si r0 est un point du continuum, la fonction F(zj) sera déterminée aux environs de ce point et l'on adoptera, pour la dérivée, la définition ordinaire ; si zQ est un point de la frontière, on adoptera la définition étendue, qu'on vient d'expliquer. Plus généralement, si tous les points de (E) sont des points d'accumulation, il est permis de parler d'une fonction F(r), déterminée dans E), ayant une dérivée dans (E), en chaque point de cet ensemble. Cette extension de la notion de dérivée est encore commode quand la fonction que l'on considère est définie, comme la fonction arc sin z, dans un plan où l'on a pratiqué des coupures ; pour reprendre cet exemple, et le point z0 situé sur le bord supérieur de la coupure, on constituera l'ensemble i E par les points suffisamment voisins de zn et situés soit sur le bord supérieur de la coupure, comme ~0, soit au-dessus de la coupure ; la définition de la dérivée, dans l'ensemble E, de la fonction arc sin z au point r0 est alors exactement celle qu'on a donnée à la fin du numéro précédent.

380. — Supposons toujours que la foire tsbn-K(z"), déterminée dans l'ensemble (ET), ait, dans cet ensemble, une dérivée F'(~0) = [lo H- ihu pour le point d'accumulation r0 = xQ -h iy0 ; supposons en outre qu'il y ait un lien, défini par les formules

z = f(.t) -h »Jf(t), a^i<6,

qui soit contenu dans (E) et qui contienne le point r0 ; en particulier, il y a un nombre t0 appartenant à l'intervalle «, b) pour lequel on a

supposons enfin que les fonctions réelles ©(/), ty(t), déterminées dans l'intervalle (a, b), admettent pour / = t0 des dérivées (p'(t0), d/(/0 ; si le nombre /0 se trouvait être égal à l'une des bornes a, l> de l'intervalle, le mot dérivée devrait être entendu dans le sens de dérivée à droite ou de dérivée à gauche (n° 205 .

Si l'on regarde z comme étant égal à ®(t) -h vh I . F z), en séparant les parties réelle et imaginaire, se mettra sous la forme