CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTEGRALES 3gtE

iPU) -+- iW(t), <Ê>(/) et W(t) étant des fonctions déterminées dans l'intervalle (a, 6). Je vais démontrer que ces fonctions admettent pour t = t0, des dérivées $'(£<,), Y'(fa), et que ces dérivées s'expriment par les formules

*'(0 = ^'(V)-W(fo).

que l'on peut condenser dans la formule unique

*' (t0) + i*. (g = (g0 + i\) [<=' (g + rV (/0)].

Ici encore, si /„ est l'une des bornes a, b de l'intervalle, les dérivées <!>' (f0), *F' (f0) seront des dérivées à droite ou à gauche. Posons en effet

F(z)-F(z0) *(t) -*(tQ) +- iy(C) -V(t0)]

= flf» -+■ j/lo H- e + &/i« S0=*fi) = , w + ,, tffl^t&î = ,y ((o) + ,,.

En vertu des hypothèses, à chaque nombre positif a, correspond un nombre positif fi, tel que les nombres réels s, s' Y], r/ soient moindres en valeur absolue que a, dès que l'on a | / — t0 \ <C 3.

On tire de ces égalités

= { 9' '(*») h- *i + ift'Cg + V]J (i/o -+- (7'o -+- 5 ■+■ £'i)«

puis, en séparant les parties réelle et imaginaire,

[<?'('<>) + ïï] (fifo + £) - WW + V] (/'o + 0'

- LV(*) + i] ft + 0 + [TO + V] (sfo + 0-

On voit immédiatement, en regardant les seconds membres, qu'à chaque nombre positif rj' correspond un nombre positif fi' tel que

les différences respectives entre ces seconds membres et les expressions

soient moindres en valeur absolue que u' lorsque l'on a |/ — /0|<jj'; cela revient à dire que Q>' (l0), ^ (^0) sont les dérivées pour t = /0 des fonctions <!?(£), ^¥(f).

Supposons que l'ensemble (E), dans lequel on supposera toujours que la fonction F (2) soit déterminée, jouisse de la propriété suivante : Deux points quelconques de (E) peuvent être reliés par un lien contenu tout entier dans (E) ; c'est la condition 20 de la définition d'un continuum. Si cette condition est vérifiée, tout point de l'ensemble sera évidemment un point d'accumulation. Supposons aussi que F (2) ait une dérivée F';;), dans (E^, et conservons pour les lettres et les symboles a, b, l, ®(f), <\>(t), $(/), **¥({) la même signification que plus haut; les fonctions réelles $(/), ^(l), déterminées clans l'intervalle (a, 6), admettront des dérivées $' (/), W (/) pour les valeurs de t telles que les fonctions (p(t), iW/) aient elles-mêmes des dérivées <p'(/), ^'(0' e^ ^ on aura

*'(t)=9*'\t)-hV(t)>

W'(i) = ho'(t) + g^(t),

en désignant par g, h la partie réelle et le coefficient de i dans F' (2), pour 2 = (D (t) -+- iù (i) ; ces deux égalités peuvent être réunies dans la formule

*' (/) + iw (i) = F' (z) [<?' (i) + by (t)].

381. — Supposons enfin que E) soit un continuum et que la fonction F (2) ait une dérivée F'(cj en chaque point de ce continuum ; le mot dérivée doit ici être pris dans son sens ordinaire, puisque la fonction F(r), par cela même qu'elle est déterminée dans (El, est déterminée aux environs de chaque point z = x-Jr t'y de l'ensemble (E) ; il est maintenant inutile de parler de la dérivée dans (E). Posons, en séparant les parties réelles et les parties ima-