CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTÉGRALES 3q

ginaires

F(z)=X{x,y) + iY(x.y), F'(z) = g (x, y) -+- ik {x, y) ;

les fonctions réelles X, \, g, h des variables réelles x, y seront définies, et les deux premières seront continues '), en tout point du continuum ; il résulte immédiatement de ce qui précède que les fonctions X(sc, y), Y (x, y) admettent des dérivées partielles par rapport à y en chaque point de (E), et que l'on a. en désignant par

ôX\ /ùY\ /bX\ /ôY\

dx /„' \ùx /„' \îy )o W )o

les valeurs de ces dérivées au point x = xQ,

%) =9 (x°' Jo^ ' \lx ) = h ^°' Jo^' (f)o=-M*o.Jo). (^)= <?(*<>, Jo):

Considérons en effet, sur la parallèle à l'axe réel qui passe par le point (x0, y0) un segment comprenant ce point et assez petit pour être contenu dans (E) ; ce segment pourra être regardé comme le lien du numéro précédent, en supposant que les fonctions (p(t), 'i> (/ soient égales, la première à /, la seconde à la constante j0 et en prenant pour a, b des nombres qui comprennent x0 et qui en sont suffisamment voisins ; on aura alors cp' il) = i, >V (2) = o et

les dérivées par rapport à /, pour t = x0, des fonctions (1>(T ou X (/, y0), W (t) ou Y (t, j0) ne sont autre chose, par définition, que les dérivées partielles

'ôX\ (ùY\

i)x)Q VW0

dont l'existence est ainsi manifeste ; les formules du numéro précédent montrent d'ailleurs que ces dérivées sont respectivement

(') On montrera ultérieurement qu'il en est de même des fonctions g(x, y), h(x, y) en vertu des- conditions énoncées.

3t)^i INTRODUCTION A LA THKOIUE DES FONCTIONS

égales à g(x0, j0), h(x0, y0).' La démonstration s'achève en considérant, au lieu de la parallèle à l'axe réel, la parallèle à l'axe imaginaire qui passe par le point \x{), j0).

Puisque (xa, j0) désigne un point quelconque du continuum (E) on peut dire généralement que si la fonction

F(z)=X(x,y)-hiY(x,y) admet une dérivée

Y'(z) = g(x,y) H- ih(x, y)

dans le continuum, on a en tout point de ce continuum,

ôX ôY , x ôY ôX , , .

- - = — — q (X, Y), — = = Il (X, Y)

tx by y v ' J ' ;vc &j v J;

™, . bX . ôY I /bX • bY

bœ bx t \ùy oy

Si la fonction F' (;) est continue au point du continuum

• i f ..• bX bY bX bY ,

z = x -h n\ les fonctions - - , — , - - , — seront continues en ce

J bX bX bj bj

point, au sens du n° 165.

382. — Inversement, je vais établir le théorème suivant : Soient X(#, y), \ {x, y) des fonctions réelles des variables réelles x, y, définies dans tout le continuum (E) et admettant en chaque point de ce continuum des dérivées partielles du premier ordre, continues en chaque point du continuum et satisfaisant aux conditions

, bX bY bX bY .

^ ' bar dy ' oj ' ex

la fonction X(œ, y) -+- i\ (x, y), regardée comme une fonction de z = x -+- iy, admet en chaque point du continuum, une dérivée égale à g [x, y) -h ih(x, y) en posant

i \ , > bX bY . , N bY bX (2) Q<(x,f) =— ■= — , hix, y) = — = •

Je raisonnerai sur le point .?:,,, j0s ou z0, que je suppose appartenir au continuum E ; soit â un nombre positif tel que tous les points qui sont à une distance réduite de (xt], y0 moindre que è