CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTEGRALES 3g

appartiennent à (E) ; si a, |3 sont des nombres réels moindres que & en valeur absolue, et si Qu 0.2 sont des nombres positifs moindres que i, les points

(x0 + a, y0 + p), (ac0 + 6^, y0 -+- O.p), [x0 -+- 62a, yQ + 82p)

appartiendront tous à (E). Afin d'abréger un peu l'écriture, je désignerai par g{ et ht, d'une part, par g2 et h,, d'autre part, les valeurs des fonctions^ (x, yj, h(x, y) aux deux derniers des points dont on vient de dire qu'ils appartenaient au conlinuum ; enfin je poserai g0 = g (x0, j0), h0 = h (xo; j0).

Pour établir la proposition que l'on a en vue, il faut montrer que le rapport

X (ar0 -h g, y0 h- p) + ÏY (x0 + «, y0 -f- p) — X (ae0, j0) — iY (x0, y0)

diffère aussi peu qu'on veut, en valeur absolue, du nombre gQ + ihQ, pourvu que a, fi soient suffisamment petits en valeur absolue.

Or, avec les notations que l'on a expliquées un peu plus haut, on peut écrire, en vertu de la proposition établie au n° 221, et en tenant compte des égalités (2),

X(x0-+-a, j0 + p) — X(a?û.y(1) = a(/1 — p/t! , Y(x0 + a,y0+(3)— X(x0,y0) = ah.,-h$g,

= xh.l-+-$gl-h*(h2 — hi)^-$(g, — gi).

Le rapport (3) serait égal à gt -+- ih* si l'on avait Qi = 6->; il est égal, dans tous les cas, à

gv -+- m, -+- 1

(h, — /,,) H- p(y, — grQ a -+-pi

puisque, en raison de la continuité des fonctions g(x, y), fi(ss\ y , 71 et /ti, </2 et A2 diffèrent aussi peu que l'on veut de y0 et h0, pourvu que a, fi soient suffisamment petits en valeur absolue, il suffit de montrer que, dans les mêmes conditions, la valeur absolue de l'expression

. a(/t2 — ht) -h p-(gz — gl)

3g6 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

est aussi petite qu'on le veut; or, c'est ce qui devient évident en posant a = r cos w, fj = r sin w, car on a alors

. « (h.2 — /it) H- P (flfa — ffi

a + pi

= | (/i2 — Ai) cos w h- (<jr2 — gfi) sin

En résumé si l'on pose

F(z) = X (a:, j) + iY (a, j), /(z) = g (*, y) + ih (x, y),

à chaque nombre positif s faire correspondra un nombe positif y? tel que l'on ait

F(*)-F(2q) /(zo)

2 Zq

sous la condition \z — Zo\<^Tj. C'est ce qu'on voulait établir.