II. — INTEGRALES

383. — Désignons par E) un ensemble qui sera soit un continuum proprement dit, soit un continuum complété par sa frontière. Soit f(z) une fonction de ~z déterminée et continue en chaque point de (E) ; soient a et 6 deux points de (E) ; joignons les par un arc de courbe (G) contenu dans (E) et défini par la formule z = a (/) -+- idi (/) où la variable réelle t doit croître de a. à |3 ; (p(t), d>(t) sont des fonctions continues de t clans l'intervalle (a, Q) telles que les valeurs de z qui correspondent à t — a et à t = |3 soient a et b. Désignons par g [t) et h(t) la partie réelle et le coefficient de i def(z) pour z= (o{t) -+- hb(J). Je suppose que l'intervalle (a, |3) puisse être décomposé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que, dans l'un quelconque de ces intervalles partiels, les fonctions ©(/), ty(t) aient des dérivées continues et qui ne changent pas de signe. Le point [<p(t), '\>(t)] parcourt la courbe de (C, de a à 6 ou de b à a suivant que / croît de a à |3, ou décroît de a à |3. On sait ce qu'on entend quand on dit qu'un point de (C) est entre deux autres points de cette courbe. Convenons, en nous plaçant dans le cas de où / croît clc « à & de dire de deux points de

CHAP1TKE XII. DÉRIVÉES ET INTEGRALES 897

(G) que l'un précède l'autre s'il correspond à une valeur de t plus petite.

Partageons l'arc de courbe (C), qui va de a à 6, en n arcs partiels, limités respectivement aux points a, z4, zv ..., b dont chacun précède l'autre; il revient au même de dire qu'entre a et /3 on a intercalé n — i nombres croissants U, U, ..., tn i auxquels correspondent les nombres Zi, z->,..., zn^. Considérons la somme

S = (z> - a)f(Q h- fa - Zl)f(Q + ... + (b -*,,)/(&,)

où Çls £2,..., Cn sont des points de la courbe G respectivement intermédiaires aux points a et z\, zt et z2, ..., ~„i et 6, pouvant d'ailleurs coïncider avec Fun ou l'autre des points entre lesquels ils doivent se trouver : on peut dire aussi que les valeurs Ti , t-2, . . . , t„ de la variable /, auxquels correspondent les points Ci, £2,..., C„ appartiennent respectivement aux intervalles (a, ti), (ti, h),..., (tn n /5). Je vais établir la proposition suivante.

Il existe un nombre I Ici que la différence I — S soit, en valeur absolue, moindre que tel nombre positif £ qu'on voudra, pourvu que la distance de deux points consécutifs dans la suite a, zlt z-2,..., b soit moindre qu'un nombre positif convenablement choisi, d'après s ou, ce qui revient au même, pourvu que les inter- (a, U), (U, t-i',. .., (t„i, jS) soient suffisamment petits. C'est ce qu'on exprime brièvement en disant que S a pour limite I quand, les points intermédiaires devenant infiniment nombreux, les distances respectives entre les points consécutifs tendent vers o.

La somme S peut en effet s'écrire

\ ?c.) - <p(») + »wo -.+(«)] ! fofr) + *('0] + •••

La partie réelle est égale à

[?(<0 -»W]jW - [+(«0 - •M3')] M*0 + - :

on prévoit qu'elle est, lorsque les intervalles (a, U), (tit h'),..., (t„-i, 3) sont suffisamment petits, très voisine de la quantité

g(t)*>(i)dl-- h(t)V(t)dt;

je vais montrer qu'elle s'en approche autant qu'on le veut, pourvu

3û8 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

que les intervalles partiels deviennent assez petits. Je raisonnerai pour cela sur la somme

Supposons que © (/) soit continue et ne change pas de signe dans l'intervalle (a, jS), en sorte que la fonction <p(i) soit, par exemple, constamment croissante dans cet intervalle : l'équation ©(/) = u, définira alors t comme une fonction continue ~/(t), croissante dans l'intervalle [©(a), ©(jS)]. Désignons par u0, Ui, ih,..., un et par

vl} iii, ., jia les valeurs de u qui correspondent aux valeurs

a, &., /;>,..., |5 et ~i, To,..., Tn de la variable £; posons enfin g |/ ' ;'«)] = y («!}) ; on pourra écrire

E — T'(ui) (ui — »o) -H- Y (S) («2 — «j) -H ... + y ('->„) («„ — a„i)~, sous cette forme, il est clair que..^ est aussi voisin que l'on veut de

| \-êp)d»--= ' g(t)*'(t)dl,

pourvu que les intervalles u0, Wi), (ttl5 Mo),..., ; m„,, u.,, ou, ce qui revient au même en raison de la continuité, les intervalles

[a., /j), (/i, fe), „ (4i i..,^jS) soient suffisamment petits ; il est à peine

utile de dire que l'égalité entre les deux intégrales résulte de la règle relative au changement de variable sous le signe I . Si les conditions relatives à la fonction ^' (t) ne sont pas vérifiées pour l'intervalle (a, jS), on décomposera cet intervalle en intervalles partiels tels qu'ils soient vérifiés par chacun d'eux. Dès lors, comme le même raisonnement s'appplique évidemment aux autres parties de S, la proposition est démontrée et l'on voit en outre que l'on a

1= f" [g(t),>(t)-h(l).y{t)}dt Jet

-+-; f' [$(0^(0 + MO *'(')]<«■