JOL

On emploie, pour représenter la quantité I, les symboles

ghapiire xu. — ueui\ i:es et imegiules 099

le second est destine à rappeler le rôle que joue la courbe (G1. La première notation est toute pareille à celle des intégrales définies dans la théorie des fonctions d'une variable réelle ; mais il ne faut pas oublier qu elle n'a de sens que si l'on a défini la courbe C qui relie le point a au point b : on dit que l'intégrale esi. prise le long de cette courbe de a à b ; on la qualifie souvent d'intégrale curviligne ; la courbe (C)-., qui va de a à 6 est le chemin d'intégration. Xorsque ce chemin se réduit au vecteur qui va de a h b, l'intégrale est dite rectiligne. Les intégrales définies de la théorie des variables réelles peuvent être regardées comme des intégrales rectilignes prises le long d'un vecteur situé sur l'axe réel. A ce même type peuvent être rattachées les expressions telles que

r f(/) dt

où a, |3 sont des nombres réels et où

F(t) = *(*) + iW(t)

en une fonction imaginaire de la variable réelle / et où l'intégrale définie a, par définition, la même signification que

«!>(/) dt + 1 W[t)dt,

les intégrales définies ayant le sens de la théorie des fonctions réelles de variables réelles. C'est à ce type qu'appartient l'expression même de I.

Si l'on considère l'intégrale

prise le long de la même courbe (C), mais parcourue de b h a, c'est-à-dire la limite, sous des conditions que l'on a précisées plus haut, de la somme

qui est égale à — 1, en reprenant les notations antérieures, il est clair que l'on aura

r.fMdz=-ff(z)dz.

Jb ... a

Plus généralement, on peut écrire

| ' f(z) dz + P f(z) dz + f /(:) cb = o,

en entendant que a, b, c sont trois points sur une même courbe, correspondant aux valeurs a, fi, y du paramètre / qui définit chaque point de la courbe, et que les trois intégrales correspondent aux valeurs de / qui vont de a à ]3, de fi à y, de y à a.

384. — La proposition qui suit est une extension évidente du premier théorème de la moyenne :

Soit, en conservant les notations du précédent numéro, M la plus grande valeur de | f(z) | quand z est un point de la courbe (C) qui va de a à b. On a évidemment

S <; M [ ! zx — a | + | z2 — zt | -f- ... + | b — z„l | ] ^ Ma

en désignant par a la longueur de la courbe (C). On en conclut

Me

Cette inégalité subsiste a Jorliori si M est la borne supérieure de f(z) dans l'ensemble (E), ou un nombre plus grand.

385. ■ — On a souvent à considérer des intégrales / g{z) dz prises le long d'une courbe fermée simple ; dans le présent numéro, lorsqu'il sera question d'une pareille intégrale, il devra être entendu que la courbe est parcourue dans le sens direct, et c'est à ce sens de parcours que se rapporte l'intégrale.

Le lecteur est prié de se reporter auxnos 310 et 313 ; seulement les liens du type Jb que l'on considérait alors devront maintenant être des courbes simples, au sens que l'on a donné à ce mot.

Soit (F) unecourbe fermée simple et (G) le continuum intérieur; je suppose la fonction g(z) continue dans le domaine (C -t- F). Décomposons ce domaine en deux autres (G,) -f- (F,), C2)-+- (F2) par une courbe simple qui joint deux points K0, K, de F et qui, sauf ces deux points, est intérieure à (C : (Çn) et (C, sont les con-