CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTEGRALES 4oi

tinuums intérieurs aux courbes (F,), (F2) ; on aura

g(z)dz==f g{z)dz+f g{z)dz,

puisque, lorsqu'on parcourt (F,) et (F2) dans le sens direct on se trouve parcourir (F) dans le sens direct et, en outre, la courbe qui joint les deux points R0 et Kt deux fois, une fois dans un sens, une fois dans le sens opposé, en sorte que les parties des deux intégrales du second membre qui correspondent à cette courbe se détruisent manifestement.

Plus généralement, en procédant par dichotomie, on peut décomposer le domaine (C) -h (F) en m domaines (c,) H- (/",), (c,) H- {fi), ..., (cm) -h (fm), où (c,), (c2), ..., (cm) sont les continuuras intérieurs aux courbes simples (/t), (/2), ..., (/*,„); on a alors

I 9(z)dz=( g{z)dz+l g(z)dz +... + ( g{z)dz. •AF) Jifù J(f2) J[fm)

Le lecteur ne peut manquer de reconnaître que ce qu'on a dit au n° 313 de l'ordre d'un point, par rapport à (F), (/*,), ..., (fm) s'applique maintenant aux intégrales.

La notion d'intégrale prise entre des limites imaginaires et les théorèmes fondamentaux qui s'y rapportent sont dûs à Cauchy. Jusqu'ici, on n'a supposé que la continuité sur la fonction qui figure sous le signe I ; c'est en particularisant la nature de cette fonction, en supposant qu'elle a une dérivée, qu'on parviendra aux résultats les plus intéressants.

386. — Reprenons les notations du n° 383. La valeur de l'intégrale

prise le long de la courbe (G) qui joint les deux points a, b, et qui est contenue dans l'ensemble (E), où la fonction f(z) est continue, dépend en général de la courbe (G) ; on montrera bientôt que, lorsque la fonction f(z) a une dérivée dans l'ensemble (E) et sous

Tannery II. — Introil. c'.ion à la Tbéori* des fonctions £6

d'autres conditions qui seront précisées, cette intégrale ne dépend que des points limites a et b. Pour le moment, je yeux me borner à démontrer que, dans le cas où la fonction /(z) est, pour tous les points de (E), la dérivée de la fonction F (z), continue en tout point de (E) comme f(z), on a

Si l'on pose en effet, comme au n° 380,

on voit, en raison de la formule du n° 383

\ f(z)dz= f [g(t)*>(t)-h(t)y(t)]dt+i f^ [g(tW(t)+h(l),'(t)]dt

et des formules, établies au n° 380,

*'(i) = g(i)ï(i)-h(t)y(t), V'(l) = h(t)«>(t)+g(t)y(t), que l'on a

nb /»p /»p

f{z)dz= &(l)clt+il V'(t)dt=4>{$) — *(a) + i[V(?) — \F(a)

Dans ces conditions, l'intégrale ne dépend évidemment que despoints a, 6 ; elle est nulle en particulier si, les points a, b coïncidant, la courbe (G) est fermée.

Réciproquement, si la fonction f(z) est continue en tout point d'un continuum (E) et si, quels que soient les points a, z de ce continuum, l'intégrale curviligne

ne dépend pas de la courbe (C) qui relie le point a au point b [sans sortir de (E)], cette intégrale définira dans l'ensemble une fonction de z dont la dérivée, en chaque point : du continuum. sera égale à f(z).