CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET LXlÉGRALES Ao
Considérons en effet un point z0 du continuum ; en vertu de la continuité, on peut faire correspondre au nombre positifs, si petit qu'il soit, un nombre positif^ tel, d'une part, que tous les points z qui satisfont à la condition \ z — z0 | <; rt appartiennent au continuum et, d'autre part, que l'on ait, sous cette dernière' condition,
Soit maintenant r, un point qui satisfait à la condition | ~j — 20 | <C Y) ; il faut montrer que l'on a
P'/W dz - F°f(z) dz lim. J- r-^ = /(,)<
les intégrales curvilignes sont définies au moyen de courbes quelconques situées dans le continuum et reliant le point a aux points z0 et Zi ; puisque, par hypothèse, ces intégrales ne dépendent pas de ces courbes, rien n'empêche de supposer que la courbe qui relie a à zi est formée, d'une part, de la courbe qui relie a à zQ et, d'autre part, du vecteur qui va de z0 à zt, lequel est entièrement contenu dans le continuum ; le numérateur de la fraction dont il faut obtenir la limite est alors égal à l'intégrale
J -o prise le long du vecteur considéré ; celle-ci peut s'écrire
la première intégrale est égale à (zi — ~o)/"(~o) \ quanta la seconde elle est moindre en valeur absolue que | zt — z0 | £ ; on a donc
sous la condition \ zx — z0 | < yj ; la proposition énoncée est démontrée.
4o4 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS
Le théorème dont on vient d'établir la réciproque, permet d'obtenir sans difficulté la valeur de l'intégrale curviligne
quand on connaît une fonction primitive F (z) àe f(z) ; mais il ne faut pas oublier que la courbe d'intégration doit appartenir à l'ensemble (E).
387. — Il n'y a aucune difficulté si la fonction f(z) est une fonction entière, transcendante ou non ; il en sera de même de la fonction F (z). Il n'y aura pas non plus de difficulté si la fonction F (z) [et par conséquent la fonction /(z)] est une fonction méromorphe ; la courbe qui va de a à 6 est seulement assujettie à ne passer par aucun des pôles de la fonction y (z), qui sont aussi les pôles de la fonction F (z) ; ainsi on pourra écrire
l dz i i
tgb — tga.
dz
pourvu que la courbe d'intégration ne passe pas, dans le premier cas, par le point z0 et, dans le second, par un des points (2/2-1-1) - •
Considérons maintenant l'intégrale
*dz
Il faut, tout d'abord, que la courbe d'intégration ne passe pas par le point o. Si, maintenant, cette courbe est intérieure à un domaine simple, ne contenant pas le point o, où l'on a défini loge: comme une fonction continue de z, on aura
7 = loS^ — loga.
La partie réelle du second membre est le logarithme naturel du
