CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTEGRALES /k

rapport - ; le coefficient de i est l'angle dont le premier côté va

du point o au point a, dont le second côté va du point o au point b, angle défini au moyen d'un lien qui va de a à 6 sans sortir du domaine.

On peut aussi se servir de la définition du logarithme principa de z au moyen de la coupure qui va sur l'axe négatif, de o à — ■■ oc . On suppose essentiellement que la courbe d'intégration ne passe pas par le point o ; si, en outre, elle ne traverse pas là coupure, on aura

] -7 = hh — ig«-

Supposons maintenant que la courbe d'intégration traverse la coupure une seule fois, par exemple de bas en haut, comme dans la figure : désignons par m, m! les deux points, confondus en

réalité, situés l'un sur le bord inférieur, l'autre sur le bord supérieur où la courbe traverse la coupure ; on pourra écrire

dz i dz ( dz

— Igm — lga-hlgb-

- lg m'

= lgè — Iga — 2TU,

ainsi qu'il résulte des explications données au n° 366 ; si la coupure était traversée une seule fois, de haut en bas, on aurait au contraire

dz , , ,

= lg 6 — Iga + 2iw ;

d'une façon générale, si le chemin d'intégration traverse la coupure n fois de bas en haut et p fois de haut en bas, on aura

*bdz

\gb — lg a -f- 2 (p — n) izi ;

on voit que toutes les valeurs que peut acquérir le premier membre diffèrent entre elles de multiples de 2 7i/. En particulier, on aura

dz , — = lgx

m étant un nombre entier dont la valeur dépend du nombre de fois que le chemin d'intégration traverse la coupure : m est nul quand le chemin ne traverse pas la coupure.

Considérons encore l'intégrale

prise le long d'une courbe fermée simple (C). Cette intégrale sera nulle si le point o est extérieur à la courbe (C) ; elle sera au contraire égale à 2 7r;' ou à — 2 m suivant que la courbe (C), regardée comme le contour de la région du plan qui lui est intérieur, est parcourue dans le sens direct ou dans le sens indirect. Ces résultats que le lecteur reconnaîtra sans peine, dans toute leur généralité, en se reportant à ce qu'on a dit sur la définition du logarithme au moyen d'un angle, apparaissent immédiatement, sur la figure, lorsque la courbe (C) ne traverse pas la coupure, ou la traverse une fois, le point o lui étant intérieur. Le cas d'une intégrale de la forme

r dz

se ramène au précédent par un changement de variable insignifiant ; on n'aura pas de peine à calculer la valeur de cette intégrale le long d'un chemin donné quelconque ne passant pas par le pôle a.