CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFINIES

définie tant que l'on a o << i <C a — a„, tend vers une limite J lorsque s tend vers zéro (par valeurs positives), il sera naturel de regarder le nombre J comme étant, par définition, la valeur du symbole

I ~(x)dx.

Cette circonstance se présentera nécessairement si la fonction (D (x) est bornée et intégrable dans l'intervalle (a0, a), puisque alors y (s) est une fonction continue de s et la nouvelle définition du symbole

I o (x) dx

coïncidera avec celle qui avait été primitivement adoptée ; mais la quantité désignée par '/Jz; peut avoir une limite, lors même que la fonction (D (x) ne serait pas bornée dans l'intervalle (a — s, a), lors même qu'elle ne serait pas définie, ou n'aurait pas de sens pour x = a ; on sait, par exemple, que l'on a, quel que soit le nombre x compris entre zéro et un,

r dx

=— = arc sin x ;

Jo \/l — ■ X

lorsque x tend vers i par valeurs croissantes, le second membre tend vers la limite - ; il en est nécessairement de même du pre-

mier, quoique la fonction , 2 grandisse indéfiniment quand

x tend vers i par valeurs croissantes et qu'elle n'ait point de sens pour x = i. On dira que la fonction y^= ==- est intégrable dans l'intervalle (o, i) et l'on écrira

dx

\fT

Ce qui vient d'être dit pour la limite supérieure a de l'intervalle s'applique à la limite inférieure a0 ; on pourra écrire, par exemple,

Xdx u

Supposons maintenant que, b étant un nombre compris entre cio et a, la fonction <p(a?), quelque petits que soient les nombres positifs s, Y), soit bornée et intégrable dans les intervalles («o, b — s), (b -+- yj, a) et que la quantité

rb-

-s pa a (as) dx -+- I o (ar) efa\

définie tant que l'on a

tende vers une limite J lorsque les nombres s, yj tendent vers zéro. On dira que la fonction © (a?) est intégrable dans l'intervalle (a0, a) et l'on écrira

ra

c'est ce qui arrivera certainement si la fonction o [x] est bornée et intégrable dans l'intervalle (b — e, b -+- yj), et par conséquent clans l'intervalle (a0, a) ; mais cela pourrait arriver sans que la fonction (p(x) fût bornée dans l'intervalle (b — s, 6 + y;), lors même qu'elle n'aurait point de sens, ou ne serait pas définie, pour x = b. Par exemple, dans tout intervalle qui ne contient pas zéro, la fonction

J'xa pour dérivée „ s.-^; on en conclut, s et yj étant positifs,

lorsque s et yj tendent vers zéro par des valeurs positives, le second membre a pour limite le nombre 6 ; telle est donc aussi la limite

du premier membre ; la fonction ^j~ qui grandit indéfiniment

quand x tend vers zéro, qui n'a pas de sens pour x = o, est intégrable dans l'intervalle ( — i, + i) et l'on a

J— i yx2

En disant en général que '/Je, Y}) tend vers la limite J lorsque