CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFIMES

s, Y} tendent vers zéro par des valeurs positives, on entend qu'à chaque nombre positif a correspond un nombre positif a' tel que les inégalités

entraînent l'inégalité

C'est ce qui arrivera évidemment si les deux intégrales dont yr{£, Y]) est la somme tendent respectivement vers des limites quand s, y) tendent vers o et c'est ce qui n'arrivera que dans ce cas, comme le lecteur n'aura pas de peine à s'en convaincre.

Un exemple simple montrera comment l'expression "/(s, Yj), lorsque les deux intégrales dont elle est la somme n'ont pas de limites, peut s'approcher de valeurs très différentes quand on fait tendre e, yj vers o.

Soit, en conservant les notations antérieures,

on aura

Jdx ( a dx i « — b , e r + t = log . h log - ;

il suffit de faire tendre s et y] vers o de façon que leur rapport ait pour limite un nombre positif arbitraire k pour que le second membre tende vers la limite

log , H log k.

En restant à ce point de vue, on n'attribuera donc pas de signification au symbole

Ça

I '■? (x) dx

si les deux intégrales dont la somme est '/ (s, rf) ne tendent pas vers des limites lorsque s-, Y] tendent vers o.

Le cas où cette somme tend vers une limite lorsqu'on suppose

vj = s et que s tend vers o est, toutefois, digne d'intérêt : la limite vers laquelle tend alors

r-b — E ra

I cp (ce) dx H- | cp (ce) c?cc

est ce que Cauchy a appelé la valeur principale de l'intégrale

cp (ce) dx.

En me bornant toujours aux valeurs qui appartiennent à un intervalle (a0, a) et b étant une de ces valeurs, je dirai d'une fonction tp (as) qui peut n'être pas définie ou n'avoir pas de sens pour x = b, mais qui est définie pour les valeurs voisines appartenant à l'intertervalle (a0 a), qu'elle devient infinie aux environs de b , si quelque grand que soit le nombre positif P, on a

|«p(aO|>P

pour des valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (a0, a), qui sont différentes de b, mais aussi voisines de b qu'on le veut. Il résulte du n° 160 qu'une fonction définie dans l'intervalle (a0, a) et qui ne devient pas infinie aux environs de quelque valeur appartenant à cet intervalle, est nécessairement bornée.

Si une fonction © (as) est définie pour toutes les valeurs de as appartenant à l'intervalle (a0 a) sauf, peut-être, pour un nombre limité de ces valeurs, si elle ne devient infinie qu'aux environs d'un nombre limité de valeurs appartenant à l'intervalle, si enfin elle est intégrable dans tout intervalle contenu dans (a0 a) auquel n'appartient aucune des valeurs de as aux environs desquelles la fonction devient infinie, il est clair qu'on pourra étendre à cette fonction les considérations développées au début de ce numéro et chercher si elle est, ou non, intégrable dans l'intervalle (a0 a). Comme dans le cas où la fonction ne devient infinie qu'aux environs d'une seule valeur de x, on ramènera, en décomposant l'intervalle (a0, a) en un nombre suffisant d'intervalles partiels, le problème au cas où la fonction ne devient infinie qu'aux environs, soit de la limite supérieure, soit de la limite inférieure de l'intégrale. Les raisonnements étant les mêmes pour les deux limites, je ne considérerai que la limite supérieure.