CHAPITRE XII

DERIVEES ET INTEGRALES

La méthode de décomposition en fractions simples permettra ensuite de calculer la valeur d'une intégrale du type

r R(z)dz

où R (z) est une fonction rationnnelle et où le chemin d'intégration ne passe par aucun des pôles de cette fonction.

Cette méthode s'appliquera en particulier à l'intégrale

rb dz

mais on peut aussi se servir de la fonction arc tg z telle qu'on l'a définie fn° 371) au moyen de deux coupures allant sur l'axe imaginaire, l'une du point i à l'infini vers le haut, l'autre du point — ik l'infini vers le bas. Je rappelle que la partie réelle de cette fonction est toujours comprise entre

— - et -h - ■

Si le chemin d'intégration qui, bien entendu, ne doit jamais passer ni par le point i ni par le point — i, ne traverse aucune des coupures, on aura

In

dz

= arc ter 6 — arc te; a.

Fig. 46.

Supposons que le chemin d'intégration, par exemple, traverse de droite à gauche, de m vers m', la coupure du bas, puis de gauche à droite, de n! vers n, la coupure du haut ; les points m, m' d'autre part, n' et n de l'autre ne sont distincts que parce qu'ils appartiennent à des bords opposés ; on aura

J a ' J a J m Jn

arc ta; a -h arc ta n' — arc ta m' -\- arc ta b — arc ta n

/Jo8 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

et, d'ailleurs,

arc tg m — arc tg m' = w, arc tg ri — arc tg n — — - : on a donc finalement

/ 4-5 = arc ts b — arc tg a.

D'une façon générale, on aura d

— — arc tg x -+■ m:,

n étant un entier qui représente la différence entre le nombre de fois où les coupures sont traversées de droite à gauche et le nombre de fois où elles sont traversées de gauche à droite. Bien entendu le chemin d'intégration ne doit passer ni par le point i, ni par le point — i.