CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTEGRALES /JOO
tons pour \/i — a2 la valeur de la racine carrée pour laquelle la partie réelle est positive, si le point a n'est pas sur une coupure et, si a est sur le bord de l'une des coupures, la valeur précisée d'après les règles du n° 341. Les fonctions v7i — z2, arc sin z ont été définies aux nos 341, 372 dans tout le plan et sur les bords des coupures, à l'exception, pour la seconde, des points H- i et — i ; elles sont continues dans le plan coupé, au sens qui a été expliqué; la première est continue et, au point a prend la valeur prescrite
pour \J \ — a2 ; la dérivée de la seconde est . où <Ji — z2 a
\j i — z2 la signification que l'on a dite. Si, par conséquent, le chemin d'intégration ne traverse pas de coupure, on a tout le long du chemin d'intégration (/i — z2) = y/i — z2 et, par suite,
Jb i
dz .
= arc sin b
Supposons maintenant que le chemin d'intégration traverse, par exemple, la coupure de gauche de bas en haut, de m vers m' ; les deux points m et m' ne sont distincts que parce qu'ils appartiennent à des bords distincts ; le long du chemin d'intégration on a, de a à m,
mais de m à b on aura (341)
(v/i— 72) = -v/r^72; on aura donc
(v/r=rr2)
dz
Ja \/l — Z'2 Jm' \/l — Z1
arc sin m — arc sin a — arc sin b -h arc sin m' ;
mais on a
arc sin m -h arc sin m on aura donc finalement
dz • ■ i
— tt — arc sin a — arc sin b.
4lO INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS
D'une façon plus générale, si le chemin d'intégration traverse une coupure et une seule, de haut en bas ou de bas en haut, on aura
dz , . • j
= ± tc — arc sm a — arc sin b.
en prenant le signe -+- ou le signe — suivant que la coupure traversée est la coupure de droite ou la coupure de gauche.
Supposons maintenant qu'il y ait deux traversées et deux seulement : si l'on traverse deux fois la même coupure on aura
dz . .
— - = arc sin b — arc sin a ;
Ja (v/i — z-) si l'on traverse deux coupures différentes on aura
i dz . } .
= arc sin b — arc sin a± 2n,
'a (v/l — ZÀ)
en prenant le signe -f- ou le signe — suivant que la première coupure traversée est la coupure de droite ou celle de gauche.
Le lecteur n'aura aucune peine à reconnaître quels chemins d'intégration il convient d'adopter pour l'intégrale
i dz
Jo (v/i — z*)'
où l'on suppose que (y/i — z2) est égal à i pour z = o, afin d'obtenir les diverses valeurs comprises dans les formules
(2/1 -h i)r — arc sin x, 2 mz -+- arc sin x,
valeurs qui sont les diverses solutions de l'équation en y
sin y = x.
390. — Considérons un ensemble parfait (E) ; supposons que les fonctions fn{z), (n= 1, 2, 3, ...) soient continues dans cet ensemble, que la série
